Hilfe zur Darstellung von Untergruppenverbänden


1. Informationen in der Datei der Untergruppen

In der Datei gruppenname.dat werden alle Untergruppen der betrachteten Gruppe aufgelistet. Es sind jeweils ihre Gruppenordnung und die Erzeugenden angegeben. Die doppelten Trennlinien kennzeichnen ihre Konjugationsklassen.
Für die größeren Gruppen wurden die Dateien gruppenname_kon.dat berechnet. Hier wird pro Konjugationsklasse nur ein Repräsentant angegeben.

Weiterhin ist der Verbandsgraph dargestellt. Hier ist ein Knoten i genau dann Nachfolger eines anderen Knotens j, wenn die zugehörige Gruppe U(i) maximale Untergruppe in der Gruppe U(j) ist.


2. Informationen im Graphen

Im Verbandgraphen stehen Untergruppen gleicher Ordnung in einer Senkrechten.

Die Normalteilereigenschaften sind durch dicke, andersfarbige Linien gekennzeichnet.

Ansonsten setzt sich die Bezeichnung der Untergruppen im Graphen wie folgt zusammen: Normalteiler der ganzen Gruppe erhalten zusätzlich zur Nummer ein "N", das Zentrum ein "Z" und alle anderen Untergruppen ein "U". Nach der Untergruppennummer erscheint bei abelschen Untergruppen ein "A", bei transitiven ein "T" und bei zyklischen ein "Z". Die entsprechenden Gruppenordnungen sind am unteren Rand der Darstellung angegeben.


3. Manipulation der Darstellung

Das Maple-Programm zur Darstellung der Verbandsgraphen hat die folgende Struktur:

> restart;
Löschen aller Voreinstellungen von MAPLE
> with(networks):
Laden des Zusatzpakets zur Arbeit mit Graphen
> with(plots):
Laden des Zusatzpakets zur Arbeit mit Bildern
> knot:={Knotenmenge};
Knoten haben die oben beschriebene Form
> G:=graph(knot,{Kanten}):
Kanten, die Untergruppenbeziehungen repräsentieren
> H:=graph(knot,{Kanten}):
Kanten, die Normalteilereigenschaften repräsentieren
> darst:=[Spalte 1],[Spalte 2]
    ,...,[Spalte n]:
Menge von Folgen, die die Spalten im Graphen (d.h. die Untergruppen derselben Ordnung), beschreiben. Die Höhe, in der eine Untergruppe nachher im Graphen erscheint, wird durch die Position des entsprechenden Knotens in der Folge bestimmt. Ausschlaggebend ist das letzte Auftreten des Knotens in der Folge. D.h. um einen Knoten im Graphen höher erscheinen zu lassen, muß die Knotenbezeichnung am Anfang der Liste eingeschoben werden. Derartige Manipulationen sind oft nötig, um ungewollte Schnittpunkte (die Untergruppeneigenschaften angeben, die gar nicht existieren) zu vermeiden.
> p1:=draw(Linear(darst),G):
Bild des Graphen der Unteruppeneigenschaften
> p2:=draw(Linear(darst),H):
Bild des Graphen der Normalteilereigenschaften
> 
K:=graph({Untergruppenordnungen},{}):
> z:=draw(Linear([Untergruppenordnung]
    ,...,[Untergruppenordnung]),K):
Darstellung der Untergruppenordnungen am unteren Rand
> x:=display(p1,thickness=1):
dünne Linien im Graphen der Untergruppeneigenschaften
> y:=display(p2,thickness=3,color=red):
dicke, rote Linien im Graphen der Normalteilereigenschaften
> display([x,y,z],symbol=POINT);
Ausgabe des Bildes

Autorin: Christiane Czech
Letzte Änderung: 15.7.1997