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\pagestyle{empty}
\begin{document}
Fakult\"at f\"ur Mathematik\\
Institut f\"ur Mathematische Stochastik\\
Dr. A. Lehmann/Dr. H. B\"uttner
\vspace{1.0cm}

\begin{center}
{\large\bf \"Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik IV (Stochastik) f\"ur Ingenieure}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\begin{itemize}
\item[1.] Wieviel dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern $1, 2, 3, 4$ und $5$ bilden?\\
Wie \"andert sich diese Anzahl, wenn alle Ziffern verschieden sein sollen?

\item[2.] In einer Gesellschaft von $n$ Personen st\"o\ss{}t jeder mit jedem an. Wie oft ert\"ont das Gl\"aserklingen?

\item[3.] In der Umgebung eines Erholungsortes sollen 15 Wanderwege durch je zwei farbige, parallele Striche gekennzeichnet werden. Wieviel Farbe ben\"otigt man mindestens, wenn gleichfarbige Paare auftreten d\"urfen und die Anordnung der Striche keine Rolle spielt?

\item[4.] Wieviel (auch sinnlose) W\"orter mit nicht mehr als 6 Buchstaben gibt es? (Ein Wort kann im Extremfall aus nur einem Buchstaben bestehen.)

\item[5.] Ein zum Wiegen benutzter Satz von 7 Massen besteht aus 1 g, 2 g, 5 g, 10 g, 50 g, 100 g, 500 g. Wieviele Zusammenstellungen dieser 7 Massen sind m\"oglich?

\item[6.] $A_i$ bedeute, dass die i-te Maschine $(i=1, 2, 3)$ ausf\"allt. Dr\"ucken Sie folgende Ereignisse durch $A_1, A_2, A_3$ aus:
\begin{itemize}
\item[a)] keine Maschine f\"allt aus;
\item[b)] mindestens eine Maschine f\"allt aus;
\item[c)] mindestens eine Maschine f\"allt nicht aus;
\item[d)] nur die 3. Maschine f\"allt aus;
\item[e)] genau eine Maschine f\"allt aus.
\end{itemize}

\item[7.] Eine Maschine produziert in einer bestimmten Zeiteinheit 4 Teile. $A_i$ bedeute, dass das $i$-te gefertigte St\"uck normgerecht ist $(i=1, 2, 3, 4)$. Erfassen Sie die Ereignisse:
\begin{itemize}
\item[a)] Alle 4 Teile sind normgerecht;
\item[b)] genau 3 Teile sind normgerecht;
\item[c)] h\"ochstens 1 Teil ist nicht normgerecht.
\end{itemize}

\item[8.] Ein System (Zuverl\"assigkeitsersatzschaltung) hat folgende Struktur:

a)
\begin{center}
\unitlength1.0cm
\begin{picture}(9,4)
\put(2.0,3.6){\framebox(1.0,0.5){1}}
\put(4.5,3.6){\framebox(1.0,0.5){3}}
\put(2.0,2.4){\framebox(1.0,0.5){2}}
\put(4.5,2.4){\framebox(1.0,0.5){4}}
\put(-0.8,3.3){\line(1,0){1.5}}
\put(0.75,3.9){\line(1,0){1.2}}
\put(3.0,3.9){\line(1,0){1.5}}
\put(5.5,3.9){\line(1,0){1.2}}
\put(6.7,3.3){\line(1,0){1.5}}
\put(0.75,2.65){\line(1,0){1.2}}
\put(3.0,2.65){\line(1,0){1.5}}
\put(5.5,2.65){\line(1,0){1.2}}
\put(0.75,2.65){\line(0,1){1.25}}
\put(6.7,2.65){\line(0,1){1.25}}
\put(-0.9,3.25){\circle*{0.2}}
\put(8.2,3.25){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{center}

b)
\unitlength1.0cm
\begin{center}
\begin{picture}(9,4)
\put(-1.5,3.5){\line(1,0){1.5}}
\put(0.0,2.6){\line(0,1){1.75}}
\put(0.0,4.35){\line(1,0){1.85}}
\put(0.0,2.6){\line(1,0){1.0}}
\put(1.0,2.4){\framebox(1.0,0.5){2}}
\put(2.7,2.4){\framebox(1.0,0.5){3}}
\put(1.85,4.1){\framebox(1.0,0.5){1}}
\put(2.85,4.35){\line(1,0){1.85}}
\put(2.0,2.6){\line(1,0){0.7}}
\put(3.7,2.6){\line(1,0){1.0}}
\put(4.7,2.6){\line(0,1){1.75}}
\put(5.2,2.6){\line(0,1){1.75}}
\put(4.7,3.5){\line(1,0){1.0}}
\put(5.7,3.25){\framebox(1.0,0.5){5}}
\put(7.75,3.25){\framebox(1.0,0.5){6}}
\put(6.75,4.1){\framebox(1.0,0.5){4}}
\put(6.75,2.4){\framebox(1.0,0.5){7}}
\put(5.2,4.35){\line(1,0){1.5}}
\put(5.2,2.6){\line(1,0){1.5}}
\put(7.75,4.35){\line(1,0){1.5}}
\put(7.75,2.6){\line(1,0){1.5}}
\put(9.25,2.6){\line(0,1){1.75}}
\put(8.75,3.5){\line(1,0){1.75}}
\put(6.7,3.5){\line(1,0){1.05}}
\put(-1.5,3.45){\circle*{0.2}}
\put(0.0,3.45){\circle*{0.2}}
\put(4.7,3.45){\circle*{0.2}}
\put(5.25,3.45){\circle*{0.2}}
\put(9.25,3.45){\circle*{0.2}}
\put(10.5,3.45){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{center}

$A_i$ bedeute, dass das $i$-te Bauelement w\"ahrend der Zeit $t$ nicht ausf\"allt, und $S$, dass das System nicht ausf\"allt. Dr\"ucken Sie die Ereignisse $S$ und $\bar S$ durch die Ereignisse $A_i$ und $\bar A_i$ aus.

\item[9.] Zw\"olf B\"ucher werden zuf\"allig in ein Regal einger\"aumt. Wie gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass drei bestimmte B\"ucher nebeneinander stehen?

\item[10.] Es werden gleichzeitig zwei W\"urfel geworfen. Man ermittle die Wahrscheinlichkeiten f\"ur folgende Ereignisse:\\
A: ,,Die Summe der gew\"urfelten Zahlen ist 8.''\\
B: ,,Die Summe der gew\"urfelten Zahlen ist 10.''\\
C: ,,Das Produkt der gew\"urfelten Zahlen ist 8.''\\
D: ,,Die Summe der gew\"urfelten Zahlen ist gr\"o\ss{}er als deren Produkt.''

\item[11.] Ein (innen wei\ss{}er) W\"urfel ist an allen Seitenfl\"achen schwarz angestrichen. Der W\"urfel wird in 1000 kleine W\"urfel einheitlicher  Gr\"o\ss{}e zerlegt. Diese 1000 W\"urfel werden intensiv durchgemischt. Es ist die Wahrscheinlichkeit daf\"ur zu ermitteln, dass ein zuf\"allig entnommener kleiner W\"urfel
\begin{itemize}
\item[a)] genau eine schwarze Seitenfl\"ache hat,
\item[b)] genau zwei schwarze Seitenfl\"achen hat,
\item[c)] genau drei schwarze Seitenfl\"achen hat,
\item[d)] v\"ollig wei\ss{} ist.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{document}