Fakultät Mathematik 16.12.2004 Institut für Mathematische Stochastik Prof. Christoph

Ich wünsche Ihnen ein Frohes Weihnachtfest sowie ein gesundes und erfolgreiches Jahr 2005.

Falls an den vielen freien Tagen Zeit bleibt, dem kann abgeholfen werden: Der Beleg dient der Selbstkontrolle, Mitte Januar 2005 werde ich die Lösungen ins Netz stellen.

Beleg Mathematik I

1. a) Bestimmen Sie die graphisch und rechnerisch den Gültigkeitsbereich der Ungleichung

|x + 2| > \frac{1}{3}|x − 2| !

b) Für welche reellen Werte x gilt

\frac{3x + 2}{2x − 1} < 2 ?

2. a) Vereinfachen Sie

z = \frac{(1 + 2i)(i − 1) + 1}{(3 + 2i)^{2} − 2(2 + i)} !

b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z^{3} + 8i = 0 !

3. Lösen Sie die Matrizengleichung AX + 2B = A^{T} − 2X mit

A = [ \begin{matrix}5 & 2 \\ 4 & −1 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix} ] !

4. Gegeben ist das Gleichungssystem:

\begin{matrix}x+ & 3y+ & (a − 1)z = 0 \\ 2x+ & y+ & z = 0 \\ x+ & 2y+ & az = 0 \end{matrix}

Für welchen Wert a besitzt das System nichttriviale Lösungen?

Geben Sie für diesen Wert alle Lösungen an!

5. Zerlegen Sie die Kraft F̄ = [11, 13, 14]^{T} in drei Komponenten parallel zu den Richtungen ā_{1} = [1, 3, 2]^{T} , ā_{2} = [2, 1, 3]^{T} und ā_{3} = [3, 4, 1]^{T} .

6. Durch die Punkte P_{1}(3; 4; 5) , P_{2}(4; 5; 8) und P_{3}(5; 3; 7) wird eine Ebene E festgelegt.

a) eine Parameterdarstellung der Ebene E !

b) den Flächeninhalt des Dreiecks P_{1}P_{2}P_{3} !

7. Gegeben ist die Ebene E_{1} : 3x − 2y + z = 5 .

a) Bestimmen Sie den Spiegelpunkt P′ des Punktes P (−4; 5; −1) bezüglich E_{1} !

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene E_{2}, die parallel zu E_{1} verläuft und den Punkt R(2; 3; 4) enthält.