Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Übungsaufgaben zu Mathematik I für Ingenieure, WS 2004/05 Serie 3, Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus, Eigenwerte,

Eigenvektoren, Vektorrechnung

Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage: http://www.math.uni-magdeburg.de/∼christop/ unter Lehre.

36. Bestimmen Sie, falls sie existieren, die inversen Matrizen zu

A = [ \begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] , C = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 3 & 8 \end{matrix} ] , D = [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] !

37. Lösen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus folgende Gleichungssysteme. Geben Sie jeweils den Rang der Koeffizientenmatriz und der erweiterten Koeffizientenmatriz an:

\begin{aligned}a) & x_{1} & + & x_{2} & + & 3x_{3} & + & 4x_{4} & = & −3 \\ & 2x_{1} & + & 3x_{2} & + & 11x_{3} & + & 5x_{4} & = & 2 \\ & 2x_{1} & + & x_{2} & + & 3x_{3} & + & 2x_{4} & = & −3 \\ & x_{1} & + & x_{2} & + & 5x_{3} & + & 2x_{4} & = & 1 \end{aligned} \begin{aligned}b) & x & + & 2y & + & 3z & = & −4 \\ & 5x & − & y & + & z & = & 0 \\ & 7x & + & 3y & + & 7z & = & −8 \\ & 2x & + & 3y & − & z & = & 11 \end{aligned}

\begin{aligned}c) & x_{1} & + & 5x_{2} & + & 2x_{3} & = & 3 \\ & 2x_{1} & − & 2x_{2} & + & 4x_{3} & = & 5 \\ & x_{1} & + & x_{2} & + & 2x_{3} & = & 1 \end{aligned} \begin{aligned}d) & 7x_{1} & + & 8x_{2} & + & 5x_{3} & = & 3 \\ & 3x_{1} & − & 3x_{2} & + & 2x_{3} & = & 1 \\ & 18x_{1} & + & 21x_{2} & + & 13x_{3} & = & 8 \end{aligned}

e)  x_{1} − 2x_{2} − 3x_{3}  = −7
2x_{1} − x_{2} + 2x_{3} + 7x_{4} = −3
−2x_{1} + x_{2} + 3x_{3} + 3x_{4} = 8
x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} − 2x_{4} = 7
f) −x_{1} + x_{2} + x_{3}  − x_{5} = 0
x_{1} − x_{2} − 3x_{3} + 2x_{4} − x_{5} = 2
3x_{2} − x_{3} − 5x_{4} − 7x_{5} = 9
3x_{1} − 3x_{2} − 5x_{3} + 2x_{4} + 5x_{5} = 2

38. Gegeben ist das Gleichungssystem

x_{1} − 2x_{2} + 3x_{3} + 4 = 0_{2x_{1} + x_{2} + x_{3} − 2 = 0}_{x_{1} + ax_{2} + 2x_{3} + b = 0} Für welche Werte a und b besitzt das System α) genau eine Lösung, β) keine Lösung und γ) unendlich viele Lösungen? Lösen Sie das System für a = 1 und b = 4.

39. Für welche Werte von a besitzt das Gleichungssystem

\begin{aligned}(2 + a^{2})x & − & 3ay & = & 0 \\ ax & + & (2 − a^{2})y & = & 0 \end{aligned}

außer der trivialen Lösung x = y = 0 noch andere Lösungen? Geben Sie dann alle Lösungen an!

40. Lösen Sie die Gleichungssysteme der Form A x⃗_{i} = b⃗_{i} (i = 1, … 4) mit

A = [ \begin{matrix}1 & 2 & −1 & 1 \\ 2 & 5 & 0 & −1 \\ −1 & 0 & 6 & −5 \\ −2 & −1 & 10 & −6 \end{matrix} ]; b_{1} = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ]; b_{2} = [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ]; b_{3} = [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ]; b_{4} = [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] .

41. Von folgenden Gleichungssystemen bestimme man

(α) die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems,

(β) die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems.

a) [ \begin{matrix}−2 & 1 & 3 & −1 \\ 4 & −2 & −1 & 2 \\ −2 & 1 & 8 & −1 \\ −10 & 5 & 25 & −5 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}2 \\ −9 \\ −3 \\ 0 \end{matrix} ] , b) \begin{aligned}x_{1} & − & x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ x_{1} & + & 2x_{2} & + & x_{3} & = & 13 \\ 2x_{1} & + & 4x_{2} & + & 2x_{3} & = & 26 \\ 4x_{1} & + & 5x_{2} & + & 4x_{3} & = & 43 \end{aligned}

42. Für welche Werte λ besitzen die folgenden homogenen linearen Gleichungssysteme nichttriviale Lösungen? Geben Sie alle nichttrivialen Lösungen an!

\begin{aligned}a) & 2x_{1} & − & x_{2} & + & 4x_{3} & = & 0 \\ & x_{1} & + & 3x_{2} & − & x_{3} & = & 0 \\ & 7x_{1} & + & 7x_{2} & + & (4 − λ)x_{3} & = & 0 \end{aligned}  \begin{aligned}b) & x & + & y & + & 2z & = & λx \\ & 2x & + & 2y & + & 2z & = & λy \\ & 2x & + & 2y & + & 5z & = & λz \end{aligned}

43. Lösen Sie die Eigenwertaufgabe Ax = λx. Geben sind jeweils alle Eigenvektoren an.

a) A = [ \begin{matrix}2 & 1 \\ 4 & −1 \end{matrix} ] b) A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & −4 \\ −2 & 1 & −2 \end{matrix} ]

44. Bestimmen Sie für die Matrix A die aus den Eigenvektoren von A bestehende Matrix C mit der Eigenschaft, dass C^{−1} A C = D ist, wobei D die Diagonalmatrix aus den Eigenwerten von A ist.

A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{matrix} ]

45. Gegeben sind die Matrizen

A = [ \begin{matrix}5 & 7 & 6 \\ 7 & 10 & 8 \\ 6 & 8 & 10 \end{matrix} ] ; b = [ \begin{matrix}18 \\ 25 \\ 24 \end{matrix} ] ; c = [ \begin{matrix}18, 1 \\ 24, 9 \\ 23, 9 \end{matrix} ]

a) Bestimmen Sie die Matrix A^{−1} !

b) Berechnen Sie die Kondition des Gleichungssystems Ax = b !

c) Das System Ax = b hat die Lösung x = [1 1 1]^{T}. Welche Lösung besitzt das System Ax = c ?

46. Gegeben sind die Vektoren

a⃗ = 2e⃗_{1} + e⃗_{2} + 4e⃗_{3} = [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} ] und b⃗ = e⃗_{1} − 2e⃗_{2} + 3e⃗_{3} = [ \begin{matrix}1 \\ −2 \\ 3 \end{matrix} ].

Berechnen Sie: |a⃗|; a⃗ + 2b⃗; 3a⃗ − 2b⃗; a⃗ · b⃗ !

47. Gegeben ist ein Viereck mit den Ecken A(−2; −2) , B(2; −1) , C(2; 2) , D(−2; 1). Man bestimme: die ”Seitenvektoren“ A⃗B , B⃗C , C⃗D , D⃗A; die ”Diagonalvektoren“ A⃗C , B⃗D und die Länge dieser Vektoren; die Winkel α, β, γ, δ.

48. Anfangspunkte und Endpunkte zweier Vektoren a⃗ und b⃗ seien durch Strecken miteinander verbunden. Die Halbierungspunkte der beiden Verbindungsstrecken seien Anfangs- und Endpunkt eines Vektors c⃗. Es soll gezeigt werden, daß der Vektor c⃗ derselbe bleibt, wenn die Vektoren a⃗ und b⃗ unabhängig voneinander parallel zu sich verschoben werden.

49. Ein Vektor bildet mit der x-Achse und der z-Achse Winkel von 40^{∘} und 80^{∘}. Ermitteln Sie seinen Winkel mit der y-Achse!

50. Man beweise mit Hilfe von Vektoren!

a) Wenn in einem Parallelogramm die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen, dann ist es ein Rhombus.

b) Satz des Thales: Der Umfangswinkel über dem Durchmesser eines Kreises ist ein rechter Winkel.

51. Gegeben sind drei aufeinanderfolgende Eckpunkte eines Parallelogramms: A(−3; −2; 0), B(3; −3; 1), C(5; 0; 2). Bestimmen Sie:

a) den vierten Eckpunkt,

b) je einen Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden!

52. Man zerlege den Vektor c⃗ = −e⃗_{1} + 8e⃗_{2} in Komponenten in Richtung der Vektoren a⃗ = e⃗_{1} + 2e⃗_{2} und b⃗ = −2e⃗_{1} + e⃗_{2}.

53. a) Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit von

x⃗_{1} = [ \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ] ; x⃗_{2} = [ \begin{matrix}4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] und x⃗_{3} = [ \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ] !

b) Stellen Sie y⃗ = [ \begin{matrix}5 \\ 7 \\ 4 \end{matrix} ] als Linearkombination von x⃗_{1}; x⃗_{2} und x⃗_{3} dar !

54. Sind die Vektoren

[ \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] ; [ \begin{matrix}−4 \\ 1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ] ; [ \begin{matrix}3 \\ −3 \\ 5 \\ −2 \end{matrix} ] ; [ \begin{matrix}−4 \\ 1 \\ 8 \\ 2 \end{matrix} ] linear unabhängig ?

55. Zeigen Sie, dass die Vektoren a⃗ = e⃗_{1} + e⃗_{2} ; b⃗ = e⃗_{3} und c⃗ = e⃗_{1} + e⃗_{3} eine Basis bilden. Stellen Sie den Vektor p⃗ = 5e⃗_{1} + e⃗_{2} + 0, 5e⃗_{3} bzgl. der Basis a⃗, b⃗, c⃗ dar.

56. Zerlegen Sie den Vektor F⃗ = (7; −7; 12) in drei Komponenten, die parallel zu a⃗ = (1; −2; 3) , b⃗ = (2; 3; 1) und c⃗ = (3; 1; 2) verlaufen !

57. Eine Kraft F⃗ = [8, 11, −5]^{T} ist in Komponenten parallel und senkrecht zur Richtung a⃗ = [2, 1, −3]^{T} zu zerlegen.

58. Gegeben sind die Vektoren

a⃗ = e⃗_{1} − 2e_{2} + e⃗_{3} ; b⃗ = e⃗_{1} + e⃗_{3} und c⃗ = e⃗_{1} − e⃗_{3}.

Man berechne a⃗·b⃗; b⃗·c⃗; a⃗×c⃗; |a⃗×c⃗|; (a⃗×b⃗)·c⃗; (a⃗×b⃗)×c⃗; (a⃗+c⃗)×(b⃗+c⃗).

59. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten

P_{1}(2; 9; 6), P_{2}(3; 2; 1), P_{3}(4; 3; 2) ?

60. Vereinfachen Sie:

a) (2a⃗ + b⃗) × (a⃗ + 2b⃗) ;

b) (a⃗ + 2b⃗ − c⃗) · [(a⃗ − b⃗) × (a⃗ − b⃗ − c⃗)] !