Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Stochastik Prof. Gerd Christoph

Aufgaben zur Vorlesung Mathematik III für Ingenieure, WS2005/06 (5. Serie, Funktionen mehrerer Variabler, Gradient, Rotation, Divergenz)

148. Man bestimme und skizziere den größtmöglichen Definitionsbereich folgender Funktionen:

a) z = \sqrt{4x + y} + \sqrt{4x − y} , b) z = ln(x^{2} + y − 1) ,

c) z = \frac{2}{\sqrt{ln(5 − x^{2} − y^{2})}} , d) z = arcsin(5 − 2y + 2x) ,

e) z = ln[2x ln(y − x)] .

149. Skizzieren Sie die durch Hauptschnitte entstehenden Kurven für die Flächen:

\begin{matrix}a) z = \sqrt{9 − x^{2} − y^{2}} , & b) z = 1 + \sqrt{x^{2} + y^{2}} , \\ c) z = \sqrt{36 − 9x^{2} − 4y^{2}} , & d) z = xe^{y} . \end{matrix}

150. Skizzieren Sie von den folgenden Funktionen einige Höhenlinien

a) z = 2x + y ,  b) z = y(1 + x^{2})  bzw. c) z = (4 − x^{2})e^{y}.

151. Welche Flächen 2. Ordnung sind durch folgende Gleichungen gegeben?

a) 9x^{2} + 4y^{2} = 36 , b) z^{2} − 4x^{2} + y^{2} = 1 ,

c) 36x^{2} + 16y^{2} + 9z^{2} = 144 , d) y^{2} = x^{2} + z^{2} ,

e) 16z = 4x^{2} + y^{2} , f) x^{2} = 4y.

152. Wie lautet die Gleichung der Fläche, die entsteht, wenn die Kurve mit der Gleichung z = ln x um die z-Achse rotiert?

153. Berechnen Sie: a) lim_{x→0} (lim_{y→0} \frac{2ye^{4x} − xe^{2y}}{3x + 2y} ),

b) lim_{y→0} (lim_{x→0} \frac{2ye^{4x} − xe^{2y}}{3x + 2y} ) und c) lim_{(x,y)→(0;0)} \frac{\sqrt{xy + 16} − 4}{2xy} !

154. Für die folgenden Funktionen sind die partiellen Ableitungen erster Ordnung allgemein und an der Stelle (x_{0}, y_{0}) zu ermitteln. Man bestimme jeweils den Gradienten ∇z(x_{0}, y_{0}) in (x_{0}, y_{0}).

a) z = x^{2} + 2y^{2} ; (x_{0}, y_{0}) = (2, 1) , b) z = ln \frac{2x + 4y}{\sqrt{x^{2} + 3y^{2}}} ; (1, 1) ,

c) z = 2y + xe^{2xy} ; (1, 0) , d) z = arctan \frac{y}{2x} ; (1, 2) ,

e) z = 3x^{y} + y^{x} + 4 ; (1, 1) .

Einige Bemerkungen zur Vektoranalysis:

Es seien f(x, y, z) eine skalare Funktion und F(x, y, z) = ( F_{1}(x, y, z) , F_{2}(x, y, z) , F_{3}(x, y, z) ) ein (dreidimensionales) Vektorfeld jeweils der drei Variablen x, y, z.

a) grad f(x, y, z) = ∇f(x, y, z) = (\frac{∂f(x, y, z)}{∂x} , \frac{∂f(x, y, z)}{∂y} , \frac{∂f(x, y, z)}{∂z})

definiert ein Vektorfeld, das Gradientenfeld (∇ ist der Nabla-Operator).

b) Der Laplace-Operator △ einer skalaren Funktion f(x, y, z) ist wieder ein Skalar (Summe der 2. partiellen Ableitungen):

△f(x, y, z) = \frac{∂^{2}f(x, y, z)}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f(x, y, z)}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}f(x, y, z)}{∂z^{2}} .

c) Die Divergenz eines Vektorfeldes F = (F_{1} , F_{2} , F_{3}) ist eine skalare Funktion und definiert die Quelldichte des Vektorfeldes F (Summe der 1. partiellen Ableitungen der Komponenten von F):

div F(x, y, z) = \frac{∂F_{1}(x, y, z)}{∂x} + \frac{∂F_{2}(x, y, z)}{∂y} + \frac{∂F_{3}(x, y, z)}{∂z} .

d) Die Rotation eines Vektorfeldes F = ( F_{1}(x, y, z) , F_{2}(x, y, z) , F_{3}(x, y, z) ) ist ein Vektorfeld, rotF erklärt die Wirbeldichte im Vektorfeld F :

rot F(x, y, z) = | \begin{matrix}e⃗_{1} & e⃗_{2} & e⃗_{3} \\ \frac{∂}{∂x} & \frac{∂}{∂y} & \frac{∂}{∂z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{matrix} | = (\frac{∂F_{3}}{∂y} − \frac{∂F_{2}}{∂z} , \frac{∂F_{1}}{∂z} − \frac{∂F_{3}}{∂x} , \frac{∂F_{2}}{∂x} − \frac{∂F_{1}}{∂y} )

Beachte: rotF = ∇×F mit formal ∇ = (\frac{∂}{∂x} , \frac{∂}{∂y} , \frac{∂}{∂z} ). Die Rotation rot F

eines Vektorfeldes ist nur in IR^{3} erklärt. Der Gradient grad f = ∇f und der Laplace-Operator △f für eine skalare Funktion f sowie die Divergenz div F eines Vektorfeldes F sind für beliebig viele Variable definiert.

155. Es sei F = (F_{1}, F_{2}, F_{3}) = (ze^{2x}, xe^{−y}, zy^{2})^{T} ein Vektorfeld. Man bestimme rot F, div F und grad (div F).

156. Gegeben sind die Skalarfunktion U(x, y, z) = x^{2}y + yz + 2xz^{2} und das Vektorfeld F[x, y, z) = (xe^{−y}, zy^{2}, ze^{2x}). Ermitteln Sie:

a) grad U ,  b) div F ,  c) rot F ,
d) div (grad U) ,  e) div (rot F) ,  f) rot (grad U) .

157. Ist das Vektorfeld v = ( v_{1} , v_{2} , v_{3} ) = (x^{2} −y^{2} , z^{2} −xy , −xz) quellenfrei?

158. Gegeben sind das Vektorfeld v = ( v_{1} , v_{2} , v_{3} ) = (x^{2} , −y z^{2} / x , x z) und das Skalarfeld U(x, y, z) = 4x^{2} + 6y^{2} + z^{2}. Berechnen Sie für den Punkt A = (1 , −2 , 4) die Komponente des Vektorfeldes rot v in Richtung des größten Anstieges der Ortsfunktion U(x, y, z)!