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\newcommand{\D}{\displaystyle}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph
\begin{center}
{\bf Aufgaben zur Vorlesung Mathematik III f"ur Ingenieure, WS2005/06}\\
(5. Serie, Funktionen mehrerer Variabler, Gradient, Rotation, Divergenz)\\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[148.]
Man bestimme und skizziere den gr"o"stm"oglichen Definitionsbereich
folgender Funktionen:\\[1.5ex]
a) $ z = \sqrt{4x+y} + \sqrt{4x-y} \,,\quad \quad \quad \quad$  b) 
$z = \ln(x^2 + y - 1)$\,,\\[1ex]
c) $ z = \frac{\D 2}{\D \sqrt{\ln(5-x^2-y^2)}}\,, \quad \quad \quad\quad \quad
  $ d) 
$ z = \arcsin (5-2y+2x)$\,,\\[1ex]
e) $ z = \ln [2x \, \ln (y-x)]$\,.
\item[149.]
Skizzieren Sie die durch Hauptschnitte entstehenden Kurven f"ur 
die Fl"achen: 
$$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad z = \sqrt{9-x^2 - y^2}\,,\quad \quad \quad &  
\mbox{b)} \quad   z = 1 + 
\sqrt{x^2 + y^2}\,, \\[1ex]
\mbox{c)} \quad z = \sqrt{36 - 9x^2 - 4y^2} \,,\quad \quad \quad&  \mbox{d)}
 \quad  z = xe^y \,.
\end{array}
$$
\item[150.]
Skizzieren Sie von den folgenden Funktionen einige H"ohenlinien 
\\[1ex]
a) $z = 2x + y\,, \quad \qquad $ b) $z = y (1+ x^2)\,\quad \qquad $ 
bzw. \quad c) $z = (4 - x^2) e^y$\,.
\item[151.]
Welche Fl"achen 2. Ordnung sind durch folgende Gleichungen 
gegeben?\\[1ex]
a) $ 9x^2 + 4y^2 = 36$\,,\; \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 
b) $ z^2 -4x^2 + y^2 = 1\,,$\\[1ex]
c) $36x^2 + 16y^2 + 9z^2 = 144$ \,, \qquad \quad 
d) $y^2 = x^2 + z^2$\,,\\[1ex]
e) $ 16z = 4x^2 + y^2 $ \,, \,\quad \qquad \quad \quad \quad 
\quad    f) $ x^2 = 4y$\,.
\item[152.]
Wie lautet die Gleichung der Fl"ache, die entsteht, wenn die Kurve mit der
Gleichung $z = \ln x$ um die $z$-Achse rotiert?
\item[153.]
Berechnen Sie: \qquad
a) $ \lim\limits_{x \to 0} \left( \lim\limits_{y \to 0}  \frac{\D 2y e^{4x}
 - x e^{2y}}{\D 3x + 2y} \right)$\,,\quad\\[1ex]
b) $ \lim\limits_{y \to 0} \left( \lim\limits_{x \to 0} 
\frac{\D 2y e^{4x} - xe^{2y}}{\D 3x + 2y} \right) $\quad und \quad
c) $ \lim\limits_{(x,y) \to (0;0)} \frac{\D \sqrt{xy + 16} - 4}{\D 2xy} 
\quad !$
\item[154.]
F"ur die folgenden Funktionen sind die partiellen Ableitungen 
erster Ordnung allgemein und an der Stelle $(x_0 , y_0)$ zu 
ermitteln. Man bestimme jeweils den Gradienten 
$\nabla z (x_0 , y_0)$ in $(x_0 , y_0)$.\\[1ex]
a) $ z = x^2 + 2y^2 \; ; \; (x_0 , y_0) = (2, 1)$\,, \qquad
b) $ z = \mbox{ln} \; \frac{\D 2x+4y}{\D \sqrt{x^2 + 3y^2}} \;  ; \; 
(1, 1)\,,$\\[1ex]
c) $ z = 2y + x e^{2xy} \; ; \; (1, 0)$\,,\qquad \quad \quad \qquad
d) $ z = \arctan \frac{\D y}{\D 2x} \; ; \; (1, 2)$\,,\\[1ex]
e) $ z = 3x^y + y^x + 4 \; ; \; (1, 1)  \; .$
\end{enumerate}
{\bf Einige Bemerkungen zur Vektoranalysis:}\\[1ex]
Es seien $f(x,y,z)$ eine skalare Funktion und ${\bf F}(x,y,z) = (\,F_1(x,y,z)\,,\, F_2(x,y,z)\,,
\, F_3(x,y,z)\,)$ ein 
(dreidimensionales) Vektorfeld jeweils der drei Variablen $x,y,z$.
\begin{enumerate}
\item[a)] grad $f(x,y,z) = \nabla f(x,y,z) = \left( 
\frac{\D \partial f(x,y,z)}{\D \partial x}\,,\,\frac{\D \partial f(x,y,z)}{\D \partial y}\,,
\,\frac{\D \partial f(x,y,z)}{\D \partial z}  \right)$\\
definiert ein Vektorfeld, das Gradientenfeld ($\nabla $ ist der {\it Nabla}-Operator).
\item[b)] Der {\it Laplace}-Operator $\bigtriangleup$ einer skalaren Funktion $f(x,y,z)$ ist 
wieder ein Skalar (Summe der 2. partiellen Ableitungen):\\
 $\bigtriangleup f(x,y,z) = \frac{\D \partial^2 f(x,y,z)}{\D \partial x^2}\,+
\,\frac{\D \partial^2 f(x,y,z)}{\D \partial y^2}\,+
\,\frac{\D \partial^2 f(x,y,z)}{\D \partial z^2}$\,.
\item[c)] Die {\it Divergenz} eines Vektorfeldes ${\bf F}=(F_1\,,\,F_2\,,\,F_3)$ ist eine 
skalare Funktion und definiert die {\it Quelldichte} des Vektorfeldes ${\bf F}$ (Summe der 
1. partiellen Ableitungen der Komponenten von ${\bf F}$):\\
$\text{div}\,{\bf F}(x,y,z)= \frac{\D \partial F_1(x,y,z)}{\D \partial x}+
\frac{\D \partial F_2(x,y,z)}{\D \partial y}+\frac{\D \partial F_3(x,y,z)}{\D \partial z}\,.$
\item[d)] Die {\it Rotation} eines Vektorfeldes ${\bf F}= (\,F_1(x,y,z)\,,\, F_2(x,y,z)\,,
\, F_3(x,y,z)\,)$ ist ein Vektorfeld, 
rot${\bf F}$ erkl"art die {\it Wirbeldichte} im Vektorfeld ${\bf F}$ :\\[1ex]
$\text{rot}\, {\bf F}(x,y,z)= \left| \begin{array}{ccc} \vec {e_1} & \vec {e_2} & \vec {e_3} \\[1ex] 
\frac{\D \partial }{\D \partial x} & \frac{\D \partial }{\D \partial y} & 
\frac{\D \partial }{\D \partial z} \\[1ex] 
 F_1&
F_2& F_3 \end{array}\right| =
{\left( \frac{\D \partial F_3}{\D \partial y}\,-\,\frac{\D \partial F_2}{\D \partial z}\,,\,
\frac{\D \partial F_1}{\D \partial z}\,-\,\frac{\D \partial F_3}{\D \partial x}\,,\,
\frac{\D \partial F_2}{\D \partial x}\,-\,\frac{\D \partial F_1}{\D \partial y} \right)}$\\
Beachte: rot${\bf F} = \nabla \times {\bf F}$ mit formal  $\nabla =
\left(\frac{\D \partial }{\D \partial x} \,,\, \frac{\D \partial }{\D \partial y} \,,\,
 \frac{\D \partial }{\D \partial z}  \right) $. Die Rotation rot~${\bf F}$ eines Vektorfeldes ist nur in $I\!\!R^3$ 
 erkl"art. Der Gradient grad $f = \nabla f$\,und  der Laplace-Operator $\bigtriangleup f$ f"ur eine skalare Funktion $f$ 
sowie die Divergenz div~${\bf F}$ eines Vektorfeldes ${\bf F}$ sind f"ur beliebig viele Variable definiert.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[155.] 
Es sei ${\bf F} = \left(F_1,F_2,F_3\right) =(z e^{2x} , xe^{-y}, zy^2)^T$ ein Vektorfeld.
Man bestimme  rot ${\bf F}$, div ${\bf F}$ und grad\,$($div ${\bf F})$.
\item[156.] %{\bf VA 1}\\
Gegeben sind die Skalarfunktion $U(x,y,z) = x^2 y + yz + 2xz^2$ und das
Vektorfeld ${\bf F}[x,y,z) = (xe^{-y} , zy^2 , ze^{2x})$. Ermitteln Sie: \\[2ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \; \mbox{grad} \, U\,, & \mbox{b)} \; \mbox{div} \, {\bf F}\,, & \mbox{c)} \; \mbox{rot} \, {\bf F}\,,\\
\mbox{d)} \; \mbox{div} \,  (\mbox{grad} \, U)\,,\qquad &  \mbox{e)} \; \mbox{div} \, (\mbox{rot} \, {\bf F})\,,\qquad &
\mbox{f)} \; \mbox{rot} \, (\mbox{grad} \, U)\,.
\end{array} $
%
\item[157.]%{\bf VA 2}\\
Ist das Vektorfeld ${\bf v} = (\,v_1\,,\,v_2\,,\,v_3\,)\,=\,(x^2-y^2 \, , \; z^2 - xy \, , \; -xz)$
quellenfrei?
\item[158.]%{\bf VA 3}\\
Gegeben sind das Vektorfeld ${\bf v} = (\,v_1\,,\,v_2\,,\,v_3\,)\,=\,\left( x^2 \, , \; - y\,z^2\,/\, x \, , \; x\,z \right)$ 
und das Skalarfeld 
$U(x,y,z) = 4x^2 + 6y^2 + z^2$. Berechnen Sie f"ur den Punkt $A=(1\,,\,-2\,,\,4)$
die Komponente des Vektorfeldes $\mbox{rot} \, {\bf v}$ in Richtung des gr"o"sten Anstieges
der Ortsfunktion $U(x,y,z)$!
\end{enumerate}


\end{document}

