Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Stochastik Prof. Gerd Christoph

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik III für Ingenieure (6. Serie)

159. Zeigen Sie, dass \frac{∂^{2}z}{∂x∂y} = \frac{∂^{2}z}{∂y∂x} für folgende Funktionen gilt:

a) z = \sqrt{y + 2x}  und  b) z = ln \frac{2x + 3y}{2x − 3y} .

160. Zeigen Sie, dass u = 2 cos^{2}(x − t/2) die DGL 2\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂x∂t} = 0 erfüllt.

161. Man bestimme die Konstante c derart, dass die Ebene z = 2 Tangentialebene der Fläche z = f(x, y) = x^{2} − xy + y^{2} − 10x + 2y + c ist.

162. Stellen Sie die Gleichungen der Tangentialebenen für die Flächen

a) z = \sqrt{16 − x^{2} − y^{2}} im Punkt P_{0}(1, 3, z_{0}) , z_{0} = z(x_{0}, y_{0});
b) xyz = 8  im Punkt P_{0}(1, 2, 4);
c) x^{3} + 2y − ln z = 3 im Punkt P_{0}(1, 1, z_{0}) , z_{0} = z(x_{0}, y_{0}) auf!

Geben Sie jeweils die Gleichungen der Normalen an!

163. Bilden Sie die totalen Differentiale von

a) z = 2 arctan(y/x) , b) z = ln \frac{e^{y+3x}}{(1 + x^{2} + y^{2})^{3}} , c) u = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} !

164. Man ermittle die totalen Differentiale erster Ordnung von:

a) z = sin(x^{2} + y^{2}) b) z = \sqrt{x − y} + ln \sqrt{xy} .

165. Für die Funktion z = 4 ln(y / x^{2}) vergleiche man im Punkt P (1/2 , 2) die Differenz der Funktionswerte △z mit dem Wert des totalen Differentials dz und berechne |△z − dz| falls gilt:

a) dx = dy = 0.5 , b) dx = −0.1 , dy = 0.3 , c) dx = 0.02 , dy = 0.16 .

166. Prüfen Sie, ob die Gleichungen exakte Differentialgleichungen darstellen und bestimme gegebenenfalls eine zugehörige Funktion z = u(x, y).

a) (2x + 2xy^{4})dx + (4y^{3}x^{2} + 3y^{2})dy = 0 , b) x sin y dx + x^{2} cos y dy = 0

c) (2xy − \frac{1}{y^{2}} ) dx + (x^{2} + \frac{2x}{y^{3}} + \frac{y}{y^{2} + 1}) dy d) 2ydx − 2xdy = 0

e) Hoffentlich haben Sie in d) erhalten, dass es sich bei dem Ausdruck 2ydx − 2xdy um kein totales Differential handelt. Versuchen Sie es nun mit ( 2ydx − 2xdy) (x + y)^{− 2} = 0.

Sie merken, dass der Ausdruck in d), multipliziert mit dem integrierenden Faktor λ(x, y) = (x + y)^{−2}, eine exakte Differentialgleichung ergibt.

f) (2xy + 3x^{2} + \frac{y}{1 + xy} ) dx + (x^{2} + 2y + 4 + \frac{x}{1 + xy} ) dy .

167. Zur Bestimmung der Brennweite f eines Kugelspiegels werden Gegenstandsweite a = (12 ± 0.1) cm und Bildweite b = (5 ± 0.05) cm gemessen. Welcher absolute und welcher relative Fehler ergibt sich für die Brennweite?

Es gilt: \frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.

168. Mit welchem absoluten und relativen Fehler muss man bei der Ermittlung des Volumens eines geraden Kegelstumpfes rechnen, wenn der Grundkreisradius r_{1} = 5 cm, der Deckkreisradius r_{2} = 4 cm und die Höhe h = 6 cm gemessen und alle Größen mit einem absoluten Fehler von höchstens 0.1 cm abgelesen wurden.

169. Man bestimme die relativen Extrema von

a) z = 2xy(x + y − 6) b) z = 3x^{2}y + 4y^{3} − 3x^{2} − 12y^{2} + 1

c) u = e^{−x^{2}−y^{2}}(x^{2} + 2y^{2}) d) z = f(x, y) = \frac{xy}{27} + \frac{1}{x} − \frac{1}{y} !

e) z = f(x, y) = x^{3} + 8y^{3} − 6xy + 1 !

170. Bestimmen Sie die absoluten Extrema über dem gegebenen Bereich:

a) f(x, y) = x · y − y^{2} über dem Quadrat 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

b) f(x, y) = e^{x^{2}−y^{2}} über dem Kreisring mit x^{2} + y^{2} = 0.5 , x^{2} + y^{2} = 2 .

171. Man bestimme den kürzesten Abstand des Punktes P_{0}(2 , 2 \sqrt{7} , 0.5) vom Rotationsparaboloid z = x^{2} + y^{2}.

172. Gegeben sind die fünf Meßwertpaare

(1 , 3.1), (2 , 1.4), (3 , 1.3), (4 , 1.15), (5 , 1.05) .

Man ermittle mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate die Ausgleichsfunktion f(x) = a x^{− 2} + b.

173. Für eine Kennziffer seien die in der Tabelle gegebenen Werte bekannt:

Jahr 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Wert der Kennziffer 4305 4421 4539 4662 4785 4906 5018

Ermitteln Sie die Parameter a und b der linearen Trendfunktion f(x) = a + b x! Welche Werte der Kennziffer sind danach für 2005 und 2006 zu erwarten?