\documentclass[12pt,a4paper]{report}
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\newcommand{\D}{\displaystyle}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik III f"ur Ingenieure}\\
(6. Serie)\\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[159.]
Zeigen Sie, dass $\frac{\D \partial^2 z}{\D \partial x \partial y} = 
\frac{\D \partial^2 z}{\D \partial y \partial x}$
f"ur folgende Funktionen gilt:\\[1ex]
a) $z = \sqrt{y + 2x}$ \qquad und \qquad
b) $z = \ln \frac{\D 2x + 3y}{\D 2x - 3y}$\, .
\item[160.]
Zeigen Sie, dass $u = 2 \cos^2 (x - t/2)$ die DGL 
$2 \frac{\D \partial^2 u}{\D \partial t^2} +  
\frac{\D \partial^2 u}{\D \partial x \partial t} = 0$ erf"ullt.
\item[161.]
Man bestimme die Konstante $c$ derart, dass  die Ebene $z = 2$ 
Tangentialebene der Fl"ache $z = f(x,y) = x^2 - xy + y^2 - 10x + 2y + c$ ist.
\item[162.]
Stellen Sie die Gleichungen der Tangentialebenen f"ur die 
Fl"achen\\[1ex]
\begin{tabular}{lll}
a) $z = \sqrt{16-x^2-y^2} $ & im Punkt & $P_0 (1, 3, z_0) 
\,,\quad z_0 = z(x_0,y_0) $;\\[1ex]
b) $xyz = 8 $ & im Punkt & $P_0(1, 2, 4)$;\\[1ex]
c) $ x^3 + 2y - \; \mbox{ln} \; z = 3 $ & im Punkt &$P_0(1, 1, z_0)\,,
\quad z_0 = z(x_0,y_0)$\quad auf!
\end{tabular}\\[1ex]
Geben Sie jeweils die Gleichungen der Normalen an!
\item[163.] 
%{\bf F2 D 17}\\
Bilden Sie die totalen Differentiale von \\[1ex]
a) $ z = 2 \arctan(y/x)$\,, \quad b) 
$ z = \;  \mbox{ln} \; \frac{\D e^{y+3x}}{\D (1+x^2 + y^2)^3}$\,,\quad %\\[1ex]
c) $ u = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \quad $!
%
\item[164.]
%{\bf F2D 28}\\
Man ermittle die totalen Differentiale erster Ordnung 
von:\\[1ex]
$
\mbox{a)} \quad z = \sin (x^2 + y^2)\, \quad \quad \mbox{b)} \quad 
z = \sqrt{x-y} + \ln \sqrt{xy} \; .$
%
\item[165.]
%{\bf F2D 30}\\
F"ur die Funktion $z = 4 \ln (y\,/\,x^2)$ vergleiche 
man im Punkt $P \left(1/2\,,\, 2 \right)$ die Differenz der 
Funktionswerte $\triangle z$ mit dem Wert des totalen Differentials
$dz$ und berechne $| \triangle z - dz |$ falls gilt:\\[1ex]
a) $ dx = dy = 0.5 $\,,\quad b) $ dx = -0.1\,,\,dy = 0.3$\,,\,\quad c) $dx = 0.02\,,\, dy = 0.16$\,.
\item[166.]
%{\bf F2D 29/F2D 49}\\
Pr"ufen Sie, ob die Gleichungen exakte Differentialgleichungen darstellen und 
bestimme gegebenenfalls eine zugeh"orige Funktion $z = u(x,y)$. \\[2ex]
a) $ (2x + 2xy^4) dx + (4y^3 x^2 + 3y^2) dy =0\;, $ \qquad
b) $ x \sin y  \; dx + x^2 \cos y \; dy =0$\\[1ex]
c) $\left( 2xy - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle y^2} \right) dx + \left( x^2 + 
\frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle y^3} + \frac{\displaystyle y}{\displaystyle y^2+1} \right) dy$\qquad d) $ 2y dx - 2x dy =0$\\[1ex]
e) Hoffentlich haben Sie in d) erhalten, dass es sich bei dem Ausdruck $ 2y dx - 2x dy $
 um kein totales Differential handelt. Versuchen Sie es nun mit\\[1ex]
 $ (\, 2y dx - 2x dy\,)\,(x+y)^{-\,2}=0$.\\[1ex]
Sie merken, dass der Ausdruck in d), multipliziert mit dem {\it integrierenden Faktor}
$\lambda(x,y)= (x+y)^{-2}$, eine exakte Differentialgleichung ergibt. 
\\[1ex]
f) $ \left( 2xy + 3x^2 + \frac{\displaystyle y}{\displaystyle 1+xy} \right) dx + \left( x^2+
2y + 4 + \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 1+xy} \right) dy \, .$
%
\item[167.]
%{\bf F2D 31}\\
Zur Bestimmung der Brennweite $f$ eines Kugelspiegels werden
Gegenstandsweite $a = (12 \pm 0.1)$ cm und Bildweite $b = (5 \pm 0.05)$
cm gemessen. Welcher absolute und welcher relative Fehler ergibt sich f"ur 
die Brennweite?\\
Es gilt: $\frac{\D 1}{\D f} = \frac{\D 1}{\D a} + 
\frac{\D 1}{\D b}$.
%
\item[168.]
%{\bf F2D 32}\\
Mit welchem absoluten und relativen Fehler muss man bei der 
Ermittlung des Volumens eines geraden Kegelstumpfes rechnen, wenn der 
Grundkreisradius $r_1 = 5$ cm, der Deckkreisradius $r_2 = 4$ cm und die 
H"ohe $h = 6$ cm gemessen und alle Gr"o"sen mit einem absoluten Fehler von 
h"ochstens $0.1$ cm abgelesen wurden.
\item[169.]
%{\bf F2E 1/F2E 9/F2E 11}\\
Man bestimme die relativen Extrema von \\[1ex]
a) $z = 2xy (x+y-6)$ \qquad \quad b)\quad $ z = 3x^2 y + 4y^3 - 3x^2 - 12y^2 + 1$\\[1ex]
c) $ u = e^{-x^2 - y^2} (x^2 + 2y^2)$ \qquad \quad d)\quad $z = f(x,y) = \frac{\D xy}{\D 27} + \frac{\D 1}{\D x} - 
\frac{\D 1}{\D y} \quad !$ \\[1ex]
e) $z = f(x,y) = x^3 + 8y^3 - 6xy +1 \quad !$
\item[170.]
%{\bf F2EN 1}\\
Bestimmen Sie die absoluten Extrema "uber dem gegebenen Bereich:\\[1ex]
a) $f(x,y) = x \cdot y - y^2$ \quad "uber dem Quadrat  $ 0 \leq x \leq 1 \,,\, 0 \leq y \leq 1 $\,.\\[1ex] 
b) $f(x,y) = e^{x^2 - y^2}$ \quad "uber dem Kreisring mit $ x^2 + y^2 = 0.5\,,\, x^2 + y^2 = 2$\,.
\item[171.]
%{\bf F2EAW 2}\\
Man bestimme den k"urzesten Abstand des Punktes 
$P_0 (2\,, \, 2 \, \sqrt{7}\,,\, 0.5)$ vom Rotationsparaboloid 
$z = x^2 + y^2$.
\item[172.]
%{\bf F2E 4}\\
Gegeben sind die f"unf Me"swertpaare
$$
(1\,,\, 3.1) , (2\,,\, 1.4) , (3\,,\, 1.3) , (4\,,\, 1.15) , (5\,,\, 1.05) \; .
$$
Man ermittle mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate die 
Ausgleichsfunktion
$ f(x) = a\, x^{-\,2} + b$.
\item[173.]
%{\bf F2E 5}\\
F"ur eine Kennziffer seien die in der Tabelle gegebenen Werte 
bekannt:\\[1ex]
\begin{tabular}{c|ccccccc}
Jahr & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004\\ \hline
Wert der Kennziffer & 4305 & 4421 & 4539 & 4662 & 4785 & 4906 & 5018
\end{tabular}\\[2ex]
Ermitteln Sie die Parameter $a$ und $b$ der linearen Trendfunktion 
$f(x) = a + b\,x$! Welche Werte der Kennziffer sind danach f"ur 2005 und 2006
zu erwarten?

\end{enumerate}


\end{document}

