\documentclass[12pt,a4paper]{report}
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\newcommand{\D}{\displaystyle}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik III f"ur Ingenieure, WS 2005/06}\\
(7. Serie)\\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[174.]  
Berechnen Sie folgende Doppelintegrale! Skizzieren Sie den 
Integrationsbereich! Deuten Sie die Ergebnisse geometrisch!\\[2ex]
a) $ \int\limits^2_{x=1} \quad \int\limits^{2x}_{y=x} (2x + 4y + 10) 
dy \, dx$ \quad \quad 
b) $\int\limits^2_{y=1} \quad \int\limits^{2\,/\,y}_{x = 
1\,/\, y}  dx \, dy$
%
\item[175.]
%{\bf F2IM 2}\\
Skizzieren Sie den Integrationsbereich und vertauschen Sie die 
Integrationsreihenfolge!\\[1ex]
a) $ \int\limits^1_{y = 0} \quad \int\limits^{1-y}_{x = - \sqrt{1-y^2}} 
f(x,y) \, dx \, dy$ \quad \quad 
b) $ \int\limits^1_{x=0} \quad 
\int\limits^{\sqrt{1-x^2}}_{y=(1-x^2)/2} f(x,y) 
dy \, dx$
%
\item[176.]
% und die Datei f2im3.eps ins Arbeitsverzeichnis kopieren!!!!
%{\bf F2IM 3}\\
Man berechne folgende Doppelintegrale "uber den angegebenen \\
Gebieten $B$.\\[2ex]
a) $ I = \int \!\! \int\limits_{\!\!\!\!\!B} x \cdot 
\frac{\D e^y}{\D y^2} \, dx \, dy 
$ \quad       \quad \quad\quad \quad
\quad \quad $b) \int \!\! \int\limits_{\!\!\!\!\!B} (y^2 + 2x + 1) \, dx
 \, dy$\\[2ex]
\begin{minipage}[t]{6cm}\vspace{0.1cm} 
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <2 cm , 2 cm>
\setplotarea x from -0.15 to 2.3, y from -0.15 to 1.7
\axis bottom shiftedto y=0
      ticks %numbered from 1 to 2 by 1
      length <0pt>  withvalues $x$ / at 2.3 / /
\axis left shiftedto x=0
      ticks %numbered from -2 to -1 by 1
                    % from  1 to  2 by 1 
       length <0pt>
      withvalues $y$ / at 1.6 / /
\put{\vector(1,0){0.4}}[Bl] at 2.3 0.00
\put{\vector(0,1){0.4}}[Bl] at 0   1.7
\setlinear
\plot 0.0  0.0 
      1.5  1.5 /
\setquadratic
\plot 0.0 0.0
      0.25 0.5
      1.0 1.0
      1.69 1.3
      2.25 1.5 / 
\put{$y=\sqrt{x}$}[Bl] at 1.4 1.1
\put{$y=x$}[Bl] at 0.7 1.3
\put{$B$}[Bl] at 0.3 0.4 
\endpicture
\end{minipage}
\qquad \qquad
\begin{minipage}[t]{6cm}\vspace{0.1cm} 
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <2 cm , 2 cm>
\setplotarea x from -0.15 to 2.5, y from -0.15 to 1.7
\axis bottom shiftedto y=0
      ticks numbered from 1 to 1 by 1
      length <0pt>  withvalues $x$ / at 2.5 / /
\axis left shiftedto x=0
      ticks numbered 
                     from  1 to  1 by 1 
       length <0pt>
      withvalues $y$ / at 1.6 / /
\put{\vector(1,0){0.4}}[Bl] at 2.5 0.00
\put{\vector(0,1){0.4}}[Bl] at 0   1.7
\setlinear
\plot 0.0  0.0 
      1.5  1.5 /
\plot 1.0  0.0 
      2.5  1.5 /
\plot 1.0  1.0 
      2.0  1.0 /
\put{$y=x-1$}[Bl] at 1.7  0.5
\put{$y=x$}[Bl] at 0.7 1.3
\put{$B$}[Bl] at 1  0.5 
\endpicture
\end{minipage}
\item[177.]
%{\bf F2IM 5}\\
Berechnen Sie \\[1ex]
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad \int\limits^4_{x=2} \int\limits^x_{ y=1} dydx \quad ; &
\mbox{b)} \quad \int\limits^1_{y=0} \int\limits^1_{x=y}
(x^2 + y^2 + 1) dx dy \\[4ex]
\mbox{c)} \quad \int\limits^1_{x=0} \int\limits^1_{y=0} \, 
\frac{\D x^2}{\D 1 + y^2} \; dy dx \quad ;\quad & \mbox{d)} \quad 
\int\limits^{+ \infty}_0 \int\limits^{+ \infty}_0 xy e^{-x^2 - y^2} dx dy \,!
\end{array} $\\[2ex]
Skizzieren Sie jeweils den Integrationsbereich!
\newpage
\item[178.]
%{\bf F2IAW 1}\\
Berechnen Sie mit Hilfe von Doppelintegralen den Inhalt der 
Fl"achen, die von folgenden Kurven begrenzt werden:
$$\begin{array}{llll} 
a) &  y & = & ex^2\\
& y & = & e^x \\
& x & = & 0  \end{array} \quad \quad \begin{array}{cccc} 
b) & 4y & = & x^2 - 4x\\
& x-y-3 & = & 0 \end{array} \quad \quad \begin{array}{cccc} 
c) & y & = & \mbox{ln} x\\
& y & = & x-1\\
& y & = & -1 \end{array}$$
\item[179.]
%{\bf F2IAW 4}\\
Ermitteln Sie den geometrischen Schwerpunkt des Halbkreises \\[1ex]
$\{ (x,y) : y \geq 0 \,;\quad x^2 + y^2 \leq r^2 \} \; ! $
\item[180.]
%{\bf F2IAW 16}\\
Bestimmen Sie mit Hilfe von Doppelintegralen den Inhalt der Fl"achen, 
die von folgenden Kurven begrenzt werden:
\begin{enumerate}
\item[a)] $y = x - 2$ \quad und \quad $y^2 = x \, ;$ 
\item[b)] $xy = 4$ \quad und \quad $y = 5 - x$ !
\end{enumerate}
\item[181.]
%{\bf F2IAW 18}\\
Bestimmen Sie das Volumen des K"orpers, der von folgenden Fl"achen 
begrenzt wird!
\begin{enumerate}
\item[a)] $ z = 0\, ;\quad z = \frac{\D 4}{\D 1 + x^2 + y^2}\, ;\quad
 y = \sqrt{1-x^2} $\quad
und \quad $y = 0$; 
\item[b)] $ z = 0 $\quad und \quad $ z = e^{-x^2 - y^2} $!
\end{enumerate}
%
\item[182.]
%{\bf F2IAW 19}\\
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der von den 
Kurven $y = x-3$\quad und\quad
$4y - x^2 + 4x = 0$ eingeschlossenen Fl"ache!
\item[183.]
%{\bf F2IAW 21}\\
Bestimmen Sie die Masse des K"orpers, der durch die Fl"achen\\
 $x = a \,;\quad
2x + z = 2a \,;\quad x + z = a \,;\quad y = \sqrt{ax}\, ;\quad y = 0$ 
begrenzt wird, wenn  die 
Dichte in jedem Punkt gleich der Ordinate $y$ dieses Punktes ist!
\item[184.]
%{\bf F2IT 1}\\
Berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten\\[2ex]
a) $ \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} 
e^{- \frac{1}{2} (x^2 + y^2)} dx dy$ \quad \quad b) $ \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} 
\int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \frac{\D dx dy}{\D 4 + 3x^2 + 3y^2} 
\quad !$
\item[185.]
Bestimmen Sie das Doppelintegral "uber dem  Kreisringsegment $D$ :
$$\int \! \! \int\limits_{\! \! \! \! \!\!\!D} \arctan \frac{\D y}{\D x} \; 
dx dy \,, \quad D = \{ 1 \,\leq\, x^2 + y^2 \,\leq\, 9\,,\; y \geq x/\sqrt{3}
\, ,\; y \leq \sqrt{3}\,x \}.$$

\item[186.] Man berechne den Fl"acheninhalt der Oberfl"ache $S$ f"ur 
$$
S = \{ (x,y,z) \in  I\!\!R^3 : \frac{\D x^2}{\D a} + 
\frac{\D y^2}{\D b} - 2z = 0 \, ; \;  \frac{\D x^2}{\D a^2} + 
\frac{\D y^2}{\D b^2} \leq 1 \} \, .
$$
Skizzieren Sie $S$.
\item[187.]
Sei $B = \{ (x,y,z) \in I\!\!R^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \,  , \; 
x^2 + y^2 \leq z^2 , z \geq 0 \}$. Man berechne den Schwerpunkt von 
$ B $ ($\rho =$ const). Skizzieren Sie $B$.
\item[188.]
Man ermittle
$$
I = \int\! \! \! \int\limits_{\!\!\! B} \! \! \! \int f(x,y,z) \,
dx dy dz \, ,
$$ 
falls
$$
B = \{ (x,y,z) \in I\!\!R^3 : 0 \leq x \leq 1 \, , \; 0 \leq 
y \leq x \, , \; 0 \leq z \leq x \} 
$$
und $f(x,y,z) = xyz$.
Skizzieren Sie $B$.
\item[189.]
Berechnen Sie das Tr"agheitsmoment 
$$
I = \int\limits_{ S} (x^2 + y^2) \rho (x,y,z) dS
$$
der Oberfl"ache 
$S = \{ (x,y,z) \in I\!\!R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 \, , \; 
x^2 + y^2 \leq z^2 \, , \; z \geq 0 \}$ \\
bez"uglich der $z$-Achse, wenn $\rho (x,y,z)=1$ gilt. Skizzieren Sie 
$S$ und die Projektion von $S$ in die $(x,y)$-Ebene.
\item[190.] 
%{\bf F2IK 1}\\
Berechnen Sie das Kurvenintegral
$$ \int\limits^{B(1,0)}_{A(0,1)} (x \sqrt{y} dx + y^2 dy)$$
l"angs der Wege \\[0.5ex]
a) $y = 1-x^2$\\
b) Gerade $AB$ !\\
c) Streckenzug $ABC$ mit $C(1,1)$ (jeweils achsenparallel)!
\item[191.]
%{\bf F2IK 3}\\
In dem Kraftfeld 
$\vec{F} = (2x - \frac{\D 1}{\D 2} y + 3 ) \vec{e_1} + 
(\frac{\D 1}{\D 2} x + 3y) \vec{e_2}$ 
wird eine Masse von $P (-2, 0)$ nach 
$Q(0, 2)$ transportiert. \\[0.5ex]
Man berechne die Arbeit bei folgenden Wegen\\
a) Strecke $ \overline{PQ}$ ; \\
b) Viertelkreis mit dem Mittelpunkt $M(0, 0)$.
\item[192.]
%{\bf F2IK 5}\\
Im Kraftfeld  $\vec{F} = \left[ \frac{\D x}{\D x^2 + y^2} \, , \,  
\frac{\D y}{\D x^2 + y^2} \, , 1 \right]^T$ wird eine Masse l"angs des Weges 
$\vec{r} (t) = \left[ \cos t, \sin t , \frac{\D 2}{\D  \pi} t \right]^T$ mit 
$ 0 \leq t \leq \frac{\D \pi}{\D 2}$ transportiert. Berechnen Sie die 
Arbeit.
\newpage
\item[193.]
%{\bf F2IK 6}\\
Sind die Integranden folgender Kurvenintegrale totale 
Differentiale einer Funktion $\Phi$? Wenn ja, berechne man nach Bestimmung 
von $\Phi$ die Integrale.
\begin{enumerate}
\item[a)] $ \int ((x^2 + y) dx + (x-y^2 ) dy)$ \qquad
 l"angs der Wege\\[1ex]
(1) $\frac{\D x^2}{\D a^2} + \frac{\D y^2}{\D b^2} = 1$\,,\\[1ex]
(2) geradlinig von $(1,1)$ nach $ (a,a)$\,,\\[1ex]
(3) $\vec{r} (t) = [ 2 \cos 3t , 4 \sin 3t]^T$ mit 
$ 0 \leq t \leq 2 \pi$\,.\\[1ex]
\item[b)] $\int (xe^y dx - ye^x dy)$ \qquad
l"angs der Wege \\[0.5ex]
(1) geradlinig von $(0,1) $ nach $(1,0)\,,$\\[0.5ex]
(2) Viertelkreis von $(0,1)$ nach $(1,0)\,.$
\end{enumerate}
\item[194.]
%{\bf F2IK 8}\\
\begin{minipage}[t]{8.5cm}
Ermitteln Sie den Wert des Kurvenintegrals 
$$\oint ((x^2 + y^2 + x) dx + (x^2 + y^2 + 2) dy)$$ 
l"angs des skizzierten 
Weges! 
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}[t]{5cm}\vspace{0.1cm} 
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.7 cm , 0.7 cm>
\setplotarea x from -1 to 4.5, y from -2.5 to 2.7
\axis bottom shiftedto y=0
      ticks numbered from 1 to 2 by 1
      length <0pt>  withvalues $x$ / at 4.5 / /
\axis left shiftedto x=0
      ticks numbered from -2 to -1 by 1
                      from  1 to  2 by 1 length <0pt>
      withvalues $y$ / at 2.5 / /
\put{\vector(1,0){0.4}}[Bl] at 4.5 0.00
\put{\vector(0,1){0.4}}[Bl] at 0   2.70
\setlinear
\plot 0.0 -2.0 
      2.0  0.0 /
\setquadratic
\plot 0.0 2.0
      0.25 1.98431
      0.5 1.936
      0.75 1.85404
      1.0 1.732 
      1.25  1.56124
      1.4   1.4283
      1.5 1.323
      1.6 1.2
      1.7 1.0536
      1.75 0.96825
      1.9 0.6245
      2.0 0.0  / 
\put{\vector(1,1){0.4}}[Bl] at 1.5 -0.5
\put{\vector(-1,1){0.4}}[Bl] at 1.0 1.732
\put{\vector(0,-1){0.4}}[Bl] at 0.0 -1.5
\put{{\footnotesize Viertelkreis}}[Bl] at 2.0 1.5
\endpicture
\end{minipage}
%
\item[195.]
Berechnen Sie unter Verwendung eines Doppelintegrals das 
Kurvenintegral\\
$\oint \left( \frac{\D dx}{\D y} - \frac{\D dy}{\D x} \right)$
l"angs des Umfangs des Dreiecks $ABC$ mit $A(1\,,\, 1) , B(2\,,\, 1)$ und 
$C(2\,,\, 2)$!
\item[196.]
%{\bf F2IK 15}\\
Bestimmen Sie die Fl"ache der Astroide $x = 2 \cos^3 t \; , \; 
y = 2 \sin^3 t$ mit Hilfe eines Kurvenintegrals!
\item[197.]
%{\bf F2IK 13}\\
Gegeben ist $\vec{F} (x, y) = (12x^2 + cxy + 2ye^{2xy} ) \vec{e}_1
+ (8x^2 + 2xe^{2xy} + 10 y + 3) \vec{e}_2\,.$
\begin{enumerate}
\item[a)] F"ur welchen Wert $c$ ist das Kurvenintegral $\int\limits^E_A 
\vec{F} \cdot \vec{dr} $ vom Wege unabh"angig?
\item[b)] Bestimmen Sie die Kr"aftefunktionen $\Phi (x\,,\, y)$, wenn 
$d \Phi = \vec{F} \cdot \vec{dr}$!
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
