Fakultät für Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik Prof. Gerd Christoph

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik II für Ingenieure, Serie 2

102. Vom Punkt P_{0}(1; 1) ist an die Bildkurve der Funktion y = 1 + ln(x − 1) die Tangente zu legen. Ermitteln Sie die Tangentengleichung!

103. Man bilde die erste Ableitung der Funktionen:

a) y = 2x^{3x}  b) y = (\frac{x}{1 + x})^{x}
c) y = (sin x)x^{cos x}  d) y = 2x^{\sqrt{x}} + 4^{1−x}

e) y = \frac{\sqrt{x + 3} · 3^{x} · cos^{3} x}{(2 + 3x)^{2}}

104. Bestimmen Sie im Punkt x_{0} = 0 die Gleichung der Tangente an die Kurve, gegeben durch f(x) = (1 + sin 2x)^{2x+1}.

105. Bilden Sie die Differentiale:

a) d(sinh^{2} x)  b) d (ln cos 2φ)  c) d(arctan \sqrt{4t + 1})

106. Für die Ausflußgeschwindigkeit v einer Flüssigkeit aus einem Gefäß gilt angenähert die Formel v = \sqrt{2gh} , worin g = 981 cm/ s^{2} die Erdbeschleunigung und h die Höhe des Flüssigkeitsspiegels über der Öffnung sind. Man bestimme den prozentualen Fehler von v , wenn h = 7, 34 cm gemessen wurde. Der prozentuale Fehler von h sei 4% .

107. Berechnen Sie Extremwerte und Wendepunkte der Funktionen

a) y = \frac{2x}{1 + x^{2}}  b) y = xe^{−2x^{2}}  c) y = x^{2} ln2x

Skizzieren Sie die Bilder der Funktionen !

108. Von der Funktion f(x) = (x−1)^{2}e^{2x} sind gesucht: Nullstellen; Extremwerte, Wendepunkte, lim_{x→−∞} f(x) und die zugehörige Kurve.

109. Zeichnen Sie das Bogenstück {⌢ \atop AB} der Kurve y = | cos x| im abgeschlossenen Intervall [\frac{π}{3} , \frac{2π}{3} ]. Warum gibt es keine Tangente an das Bogenstück, die parallel zur Sehne \overline{AB} verläuft?

110. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes sind die Stellen zu berechnen, wo die Tangente an die Kurve den gleichen Anstieg hat wie die Sekante durch die Kurvenpunkte mit den Abzissen a und b.

a) f(x) = e^{3x} , a = 0 , b = \frac{1}{3} ln 2

b) f(x) = ln \frac{1 − x}{1 + x} , a = 0 , b = \frac{1}{2}

111. Gegeben ist die Gleichung einer Parabel durch y = a_{2}x^{2} +a_{1}x+a_{0} und eine Sekante durch die Parabelpunkte P_{1}(x_{1}, y_{1}) und P_{2}(x_{2}, y_{2}). Gesucht ist die Tangente, die parallel zu dieser Sekante verläuft. Bestimmen Sie das ϑ in der Formel des Mittelwertsatzes!

112. Bestimmen Sie bis zum Glied x^{3} die Taylorentwicklung an der Stelle x_{0} = 0 und geben Sie R_{3}(x) an für

a) f(x) = ^{3} \sqrt{x + 1} b) f(x) = ln \sqrt{\frac{1 − 2x}{1 + 2x}} .

113. Wie klein muss x > 0 sein, wenn man bei der Berechnung von (1 + x)^{1/2} die Näherungsformel 1 + \frac{1}{2}x benutzt und nach der Rechnung 6 Dezimalen beizubehalten wünscht?

114. Man berechne folgende Grenzwerte:

a) lim_{x→1} \frac{ln x^{3}}{2(x^{2} − 1)}  b) lim_{x→0} \frac{ln x}{ln sin x}
c) lim_{x→2} (\frac{1}{x − 2} − \frac{1}{ln(x − 1)}) d) lim_{x→0}(e^{2x} + x)\frac{1}{x}
e) lim_{x→π}(π − x) tan \frac{π}{2}  f) lim_{x→∞} (\frac{x + 1}{x − 1})^{3x}
g) lim_{x→π/2}(sin x)^{tan x}  h) lim_{x→1}(x − 1)^{ln x}

115. Bestimmen Sie \frac{dy}{dx} und \frac{d^{2}y}{dx}!

a) x = 2 cos t b) x = 2 ln t
y = sin t  y = 1 + t^{2}

116. Bestimmen Sie y′ in (x_{0}, y_{0})!

a) xy^{2} = 18 in (2; −3)

b) sin(x + y) = 2x in (0; π) .

117. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve

x(t) = tan t; y(t) = cos^{2} t für t_{0} = \frac{π}{4} !

118. Mit dem Newton-Verfahren berechne man die kleinste positive Lösung der

folgenden Gleichung:

x^{3} + e^{−x} = 2 .