\documentclass[12pt,a4paper]{report}
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\newcommand{\D}{\displaystyle}
\begin{document}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik, Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph\\
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik II f"ur Ingenieure, Serie 2}\\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[102.]
Vom Punkt $P_0 (1; 1) $ ist an die Bildkurve der Funktion $y = 1 + 
\mbox{ln} (x-1) $ die Tangente zu legen. Ermitteln Sie die 
Tangentengleichung!
\item[103.]
Man bilde die erste Ableitung der Funktionen:\\[1.5ex]
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad y = 2x^{3x} & \quad \quad \mbox{b)} \quad y = 
\left( \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 1 + x} \right)^x \\[1ex]
\mbox{c)} \quad y = ( \sin x) x^{\cos x} & \quad \quad \mbox{d)} \quad 
y = 2x^{\sqrt{x}} + 4^{1-x} \\[1ex]
\mbox{e)} \quad y = 
\frac{\displaystyle \sqrt{x+3} \cdot 3^x \cdot \cos^3 x}{\displaystyle (2+3x)^2}
\end{array}
$
\item[104.]
Bestimmen Sie im Punkt $x_0 = 0$ die Gleichung der Tangente an die Kurve, gegeben durch
$f(x) = ( 1 + \sin 2x)^{2x+1}$.

\item[105.]
Bilden Sie die Differentiale:\\[1.5ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \quad d (\sinh^2 x) & \quad \quad \mbox{b)} \quad d \; ( \mbox{ln} 
\; \cos 2 \varphi ) & \quad \quad \mbox{c)} \quad d ( \arctan 
\sqrt{4t+1} ) 
\end{array}
$
\item[106.]
F"ur die Ausflu"sgeschwindigkeit $v$ einer Fl"ussigkeit aus 
einem Gef"a"s gilt angen"ahert die Formel $v = \sqrt{2gh}$ , worin $ g = 981$ 
cm/ $s^2 $ die Erdbeschleunigung und $h$ die H"ohe des 
Fl"ussigkeitsspiegels "uber 
der "Offnung sind. Man bestimme den prozentualen Fehler von $v$ ,  wenn 
$h = 7,34 $ cm gemessen wurde. Der prozentuale Fehler von $h$ sei 
$4 \%$ .
\item[107.]
Berechnen Sie Extremwerte und Wendepunkte der Funktionen \\[2ex]
a) $ y = \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle 1+x^2} \quad \quad $ b) $ y = xe^{-2x^2} \quad 
\quad $
c) $ y = x^2 \, \mbox{ln} 2x $\\[1.5ex]
Skizzieren Sie die Bilder der Funktionen !
%
\item[108.]
Von der Funktion $f(x) = (x - 1)^2 e^{2x}$ sind gesucht: Nullstellen; 
Extremwerte, Wendepunkte, $\lim_{x \to - \infty} f(x)$ und die 
zugeh"orige Kurve.
%
\item[109.]
Zeichnen Sie das Bogenst"uck  $\stackrel{{}_{\displaystyle\frown}}{AB}$ der Kurve
$y = | \cos x|$ im abgeschlossenen Intervall $\left[ \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}, \frac{\displaystyle 2 \pi}{\displaystyle 3} 
\right]$. Warum gibt es keine Tangente an das Bogenst"uck, die parallel zur 
Sehne $\overline{AB}$ verl"auft?
%
\item[110.]
Mit Hilfe des Mittelwertsatzes sind die Stellen zu berechnen, 
wo die Tangente an die Kurve den gleichen Anstieg hat wie die Sekante 
durch die Kurvenpunkte mit den Abzissen $a$ und $b$.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x) = e^{3x} \quad , \quad a = 0 \quad , \quad b = 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} \; \mbox{ln} \; 2$
\item[b)] $ f(x) = \; \mbox{ln} \; \frac{\displaystyle 1-x}{\displaystyle 1+x} \quad , \quad 
a = 0 \quad , \quad b = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$
\end{enumerate}
%
\item[111.]
Gegeben ist die Gleichung einer Parabel durch 
$y = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ und eine Sekante durch die Parabelpunkte 
$P_1 (x_1, y_1)$ und $P_2 (x_2 , y_2)$. Gesucht ist die Tangente, die 
parallel zu dieser Sekante verl"auft.  Bestimmen Sie das $\vartheta$ in der 
Formel des Mittelwertsatzes!
%
\item[112.]
Bestimmen Sie bis zum Glied $x^3$ die Taylorentwicklung an der Stelle $x_0 = 0$ und geben Sie 
$R_3 (x)$ an f"ur\\[1ex] 
a) $f(x) = \sqrt[3]{x+1}$ \hspace{1cm} b) $f(x) = \ln \sqrt{\frac{\D 1-2x}{\D 1+2x}}$ .
%
\item[113.] 
Wie klein muss $x > 0$ sein, wenn man bei der Berechnung von $(1+x)^{1/2}$ die N"aherungsformel $1 + \frac{\D 1}{\D 2} x$ 
benutzt und nach der Rechnung 6 Dezimalen beizubehalten w"unscht?
%
\item[114.]
Man berechne folgende Grenzwerte:\\[2ex]
\begin{tabular}{llll}
a) & $\lim\limits_{x\to1} \; \frac{\D \ln x^3}{\D 2(x^2-1)}$                       & b) & $\lim\limits_{x \to 0} \; \frac{\D \ln x}{\D \ln \sin x}$\\[1.5ex]
c) & $\lim\limits_{x\to2} \; \left( \frac{\D 1}{\D x-2} - \frac{\D 1}{\D \ln(x-1)}\right) $ & d) & 
     $ \lim\limits_{x \to 0} ( e^{2x} + x)^{\frac{\D 1}{\D x}}$\\[1.5ex]
e) & $\lim\limits_{x \to \pi} (\pi - x) \tan \frac{\D \pi}{\D 2} $ & f) &  $\lim\limits_{x \to \infty} \; \left( \frac{\D x+1}{\D x-1} \right)^{3x}$\\[1.5ex]
g) & $\lim\limits_{x \to \pi /2} (\sin x)^{\tan x} $ & h) & $\lim\limits_{x \to 1} (x - 1)^{\ln x}$
\end{tabular}
%
\item[115.]
Bestimmen Sie $\frac{\D dy}{\D dx}$ und $\frac{\D d^2 y}{\D dx}$!\\[2ex]
\begin{tabular}{llll}
a) & $ x = 2 \cos t$ & b) & $x = 2 \ln t$\\[1.5ex]
   & $y = \sin t $ &    & $ y = 1 + t^2$ 
\end{tabular}
%
\item[116.] Bestimmen Sie $y'$ in $(x_0 , y_0)$!
\begin{enumerate}
\item[a)] $xy^2 = 18 \qquad {\rm in} \quad(2; -3)$
\item[b)] $\sin(x+y) = 2x\qquad {\rm in} \quad(0; \pi)$\,.
\end{enumerate}
%
\item[117.] 
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve 
$$
x(t)  = \tan t ; \quad y(t) = \cos^2 t \quad \mbox{f"ur} \quad t_0 = \frac{\D \pi}{\D 4} \, !
$$
%
\item[118.] 
Mit dem Newton-Verfahren berechne man die kleinste positive L"osung der folgenden Gleichung:
$$
x^3 + e^{-x} = 2 \,.
$$
\end{enumerate}
\end{document}
