Fakultät für Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik Prof. Gerd Christoph

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik II für Ingenieure (3. Serie)

119. Ermitteln Sie jeweils eine Stammfunktion von y = f(x) !

a) f(x) = 3x^{5} + \sqrt{x} + \frac{1}{2x} − \frac{1}{\sqrt[4]{x}} b) f(x) = \sqrt[4]{3x + 2}
c) f(x) = \frac{(2 + \sqrt{x})^{2}}{8x}  d) f(x) = \frac{1}{(5x + 2)^{3}}
e) f(x) = cos 3x + sin 3x  f) f(x) = sinh(2x + 3)
g) f(x) = \frac{2}{2x + 4}  h) f(x) = \frac{2x + 5}{x^{2} + 5x + 1}
i) f(x) = \frac{sin 3x}{2 + cos 3x}  j) f(x) = \frac{e^{2x}}{1 + 4e^{2x}}
k) f(x) = sin x · cos^{3} x  l) f(x) = 6 x e^{3x^{2}}
m) f(x) = cos x · e^{sin x}  n) f(x) = x^{3}\sqrt{1 + x^{4}}

120. Es sind die Werte folgender Integrale zu berechnen, wobei die angegebenen Substitutionen anzuwenden sind!

a) ∫_{1}^{4} \frac{x}{\sqrt{2 + 4x}} dx mit 2 + 4x = z^{2}
b) ∫_{1}^{5} \frac{\sqrt{x − 1}}{x} dx mit x − 1 = t^{2} und c) ∫_{3/4}^{4/3} \frac{dz}{z\sqrt{z^{2} + 1}} mit z = \frac{1}{t}

121. Durch geeignete Substitutionen sind folgende Integrale zu bestimmen:

\begin{matrix}a) ∫ \frac{x + 1}{\sqrt[3]{3x + 1}} dx & b) ∫ \frac{x}{\sqrt{2x + 1} + 1} dx & c) ∫ \frac{\sqrt{x − 1}}{x} dx \\ d) ∫ \frac{dx}{^{3} \sqrt{x} + \sqrt{x}} & e) ∫ \frac{dx}{1 − sin x} & f) ∫ \frac{dx}{cos x} \end{matrix}

122. Bestimmen Sie für folgende Funktionen jeweils eine Stammfunktion:

a) f(x) = xe^{2x} b) f(x) = x^{2} cos x c) f(x) = e^{3x} cos x

123. Gegeben ist die Funktion y = f(x) = \frac{3x^{2} − x}{(x^{2} + 1)(x − 2)}.

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion und berechnen Sie ∫ f(x) dx.

124. Integrieren Sie folgende gebrochen rationale Funktionen

\begin{matrix}a) f(x) = \frac{x − 4}{x^{2} − 5x + 6} & b) f(x) = \frac{3x^{2} + 2x − 3}{x^{3} − x} \\ c) f(x) = \frac{3x − 2}{x^{4} − x^{3}} & d) f(x) = \frac{x^{2} − 5}{(x − 1)(x^{2} − 2x + 2)} \end{matrix}

125.

Bestimmen Sie: a) ∫ \frac{e^{x}}{9 + e^{2x}} dx  b) ∫ \frac{e^{2x} − 2e^{x}}{e^{2x} + 1} dx
c) ∫ \frac{e^{3x}}{e^{x} + 2} dx  d) ∫ \frac{(4e^{x} + 5)e^{x}}{e^{2x} + e^{x} − 2} dx

126.

Berechnen Sie: a) ∫_{0}^{∞}xe^{−2x}dx  b) ∫_{0}^{∞}xe^{−x^{2}}dx  c) ∫_{0}^{∞} \frac{x}{(1 + x^{2})^{2}} dx
d) ∫_{0}^{2} \frac{dx}{(x − 2)^{3}}  e) ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x^{2} + x}  f) ∫_{1}^{e} \frac{dx}{x ln x}

127. Bestimmen Sie den Inhalt der Flächen, die durch folgende Kurven begrenzt werden! Skizzieren Sie die Flächen!

a) \{ \begin{matrix}y & = & \frac{5}{1 + 2x^{2}} \\ |x| & = & 3 ; y = 0 \end{matrix} b) \{ \begin{matrix}y^{2} & = & 2x + 4 \\ x & = & 0 \end{matrix}

128. Berechnen Sie den Inhalt der Flächen, die von folgenden Kurven begrenzt werden! Skizzieren Sie die Flächen!

a) y = \frac{4}{1 + x^{2}} ; y = 0 ; x = 0 sowie b) y = e^{2x} − 1 ; y = 0 und x = −1 !

129. Bestimmen Sie die Bogenlänge! Skizzieren Sie die Kurven!

a) y = 2 ln(1 − \frac{x^{2}}{4} ) ; 0 ≤ x ≤ 1

b) x = 4 ln t ; y = 2t + \frac{2}{t} ; 2 ≤ t ≤ 4

130. Das von der Kurve mit der Gleichung y = f(x) = \frac{1}{5} ^{4} \sqrt{x} (36 − x^{2}) und der x-Achse eingeschlossene Flächenstück rotiere um diese Achse.

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskrpers.

131. Berechnen Sie für den Bogen der Zykloide, gegeben durch

x = t − sin t ; y = 1 − cos t (0 ≤ t ≤ 2π)

a) das Volumen des Körpers, der durch Rotation eines Zykloidenbogens um die x-Achse erzeugt wird.

b) die Bogenlänge eines Bogens.

c) den Inhalt der Oberfläche des Rotationskörpers, die bei Rotation eines Bogens um die x-Achse entsteht.