\documentclass[12pt,a4paper]{report}
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\newcommand{\D}{\displaystyle}
\begin{document}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik, Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph\\[1ex]
\noindent
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik II f"ur Ingenieure (3. Serie)}\\
\begin{enumerate}
\item[119.]
Ermitteln Sie jeweils eine Stammfunktion von $y = f(x)$ !\\[2ex]
$
\begin{array}{llllll}
\mbox{a)} \quad f(x) & = & 3x^5 + \sqrt{x} + \frac{\D 1}{\D 2x} - 
\frac{\D 1}{\D \sqrt[4]{x} } & \mbox{b)} \quad f(x) & = & 
\sqrt[4]{3x+2} \\[2ex]
\mbox{c)} \quad f(x) & = & \frac{\D (2 + \sqrt{x})^2}{\D 8x} & \mbox{d)} 
\quad 
f(x) & = & \frac{\D 1}{\D (5x+2)^3} \\[2ex]
\mbox{e)} \quad f(x) & = & \cos 3x + \sin 3x & \mbox{f)} \quad f(x) & = & 
\sinh (2x + 3) \\[2ex]
\mbox{g)} \quad f(x) & = & \frac{\D 2}{\D 2x+4} & \mbox{h)} \quad f(x) & = &
\frac{\D 2x+5}{\D x^2 + 5x+1} \\[2ex]
\mbox{i)} \quad f(x) & = & \frac{\D \sin 3x}{\D 2+ \cos 3x}  & \mbox{j)} 
\quad f(x) & = & \frac{\D e^{2x}}{\D 1 + 4e^{2x}}\\[2ex]
\mbox{k)} \quad f(x) & = & \sin x \cdot \cos^3 x & \mbox{l)} 
\quad f(x) & = & 6\,x\, e^{3x^2} \\[2ex]
\mbox{m)} \quad f(x) & = & \cos x \cdot e^{\sin x} & \mbox{n)} \quad 
f(x) & = & x^3 \sqrt{1+x^4}
\end{array}
$
\item[120.]
Es sind die Werte folgender Integrale zu berechnen, wobei die
angegebenen Substitutionen anzuwenden sind!\\[2ex]
$
\begin{array}{lllllll}
\mbox{a)} \quad \int\limits^4_1 \frac{\D x}{\D \sqrt{2+4x}}\; dx & \mbox{mit}
& 2 + 4x = z^2\\[2ex]
\mbox{b)} \quad \int\limits^5_1 \frac{\D \sqrt{x-1}}{\D x} \; dx& \mbox{mit} & 
x - 1 = t^2 & \mbox{und} \quad
\mbox{c)} \quad  \int\limits^{4/3}_{3/4} \frac{\D dz}{\D z \sqrt{z^2 + 1}} &  
\mbox{mit} & z = \frac{\D 1}{\D t}
\end{array}
$\\
%
\item[121.]
Durch geeignete Substitutionen sind folgende Integrale zu bestimmen:
$$ \begin{array}{lll}
a) \int \frac{\D x+1}{\D \sqrt[3]{3x+1}} \, dx  \quad \quad & b) \int
\frac{\D x}{\D \sqrt{2x+1} + 1} \, dx \quad \quad &
c) \int \frac{\D \sqrt{x-1}}{\D x} \, dx  \\[2ex]  d) \int 
\frac{\D dx}{\D \sqrt[3]{x} + \sqrt{x}} \quad \quad &
e) \int \frac{\D dx}{\D 1- \sin x}  \quad \quad & f) \int 
\frac{\D dx}{\D \cos x}\\
\end{array}$$
\item[122.]
Bestimmen Sie f"ur folgende Funktionen jeweils eine 
Stammfunktion:\\[1ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \quad f(x) = xe^{2x} & \quad  \mbox{b)} \quad f(x) = x^2 \cos x 
& \quad \mbox{c)} \quad f(x) = e^{3x} \cos x
\end{array}
$
\item[123.]
Gegeben ist die Funktion $y = f(x) = \frac{\D 3x^2 - x}{\D 
(x^2+1)(x-2)}$.\\
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion und berechnen Sie 
$ \int f(x) \, dx$.
\newpage
\item[124.]
Integrieren Sie folgende gebrochen rationale Funktionen \\
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad f(x) = \frac{\D x-4}{\D x^2 - 5x + 6} & \quad 
\mbox{b)} \quad f(x) = \frac{\D 3x^2 + 2x - 3}{\D x^3 - x}\\[1ex]
\mbox{c)} \quad f(x) = \frac{\D 3x - 2}{\D x^4 - x^3} & \quad 
\mbox{d)} \quad f(x) = \frac{\D x^2 - 5}{\D (x-1)(x^2 - 2x + 2)}
\end{array}
$
\item[125.]
 
$ \begin{array}{lll}\mbox{Bestimmen Sie:}&
a) \int \frac{\D e^x}{\D 9+e^{2x}} \, dx \quad \quad & b) \int 
\frac{\D e^{2x}-2e^x}{\D e^{2x}+1} \, dx\\[2ex]&
c) \int \frac{\D e^{3x}}{\D e^x + 2} \, dx \quad \quad & d) \int
\frac{\D (4e^x + 5)e^x}{\D e^{2x}+e^x - 2} \, dx\\
\end{array}$
\item[126.]

$ \begin{array}{llll}\mbox{Berechnen Sie:}&
a)\; \int\limits^{\infty}_0 xe^{-2x} dx \quad \quad & b)\; \int\limits^{\infty}_0 
xe^{-x^2} dx \quad \quad &
c)\; \int\limits^{\infty}_0 \frac{\D x}{\D (1+x^2 )^2} \, dx \\[2ex]& 
d) \; \int\limits^2_0 \frac{\D dx}{\D (x-2)^3} \quad \quad &
e) \; \int\limits^{\infty}_1 \frac{\D dx}{\D x^2 + x} \quad \quad & f) \;
\int\limits^e_1 
\frac{\D dx}{\D x \, \ln x}\\
\end{array}$
\item[127.]
Bestimmen Sie den Inhalt der Fl"achen, die durch folgende Kurven 
begrenzt werden! Skizzieren Sie die Fl"achen!\\[2ex]
$$a) \quad \left\{ \begin{array}{lll}
y & = & \frac{\D 5}{\D 1+2x^2}\\[2ex]  
|x| & = & 3 \quad ; \quad y = 0   \end{array} \right. \quad 
b) \quad \left\{ \begin{array}{lll}
y^2 & = & 2x + 4\\[2ex]
x & = & 0
\end{array} \right. $$
\item[128.]
Berechnen Sie den Inhalt der Fl"achen, die von folgenden Kurven 
begrenzt werden! Skizzieren Sie die Fl"achen!\\
a) $ y = \frac{\D 4}{\D 1+x^2} \; ; \; y = 0 \; ; \;  x = 0 $ sowie
b) $ y = e^{2x} - 1 \; ; \; y = 0 $ und $ x = -1 \, !$
%
\item[129.]
Bestimmen Sie die Bogenl"ange! Skizzieren Sie die Kurven!\\[1ex]
a) $y = 2 \, \ln (1- \frac{\D x^2}{\D 4}) \quad ; \quad 
0 \leq x \leq 1$\\[1ex]
b) $x = 4 \, \ln t \quad ; \quad y = 2t + \frac{\D 2}{\D t} \quad ; \quad 
2 \leq t \leq 4$
\item[130.]
Das von der Kurve mit der Gleichung 
$ \quad y = f(x) = \frac{\D 1}{\D 5} \, \sqrt[4]{x} \, (36 - x^2) \quad $
und der $x$-Achse eingeschlossene Fl"achenst"uck rotiere um  diese Achse.\\[1ex]
Berechnen Sie das Volumen des Rotationsk”rpers.
\item[131.]
Berechnen Sie f"ur den Bogen der Zykloide, gegeben durch
$$ x = t - \sin t \quad ; \quad y = 1 - \cos t \quad  (0 \leq t \leq 2 \pi )$$
a) das Volumen des K"orpers, der durch Rotation eines Zykloidenbogens um die 
$x$-Achse erzeugt wird.\\
b) die Bogenl"ange eines Bogens.\\
c) den Inhalt der Oberfl"ache des Rotationsk"orpers, die bei Rotation eines Bogens um die $x$-Achse 
entsteht.
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
