Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Stochastik Prof. Gerd Christoph

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik III, SoSe 2005

Serie 4 (Differenzialgleichungen, 1. Teil)

132. Prüfen Sie, ob die Funktionen y = Cx^{2}− \frac{1}{4}(lnx^{2}+1) die DGL xy′−2y = lnx erfüllen. Bestimmen Sie C derart, dass die Bedingung y(1) = 0 erfüllt ist.

133. Zeichnen Sie das Bild der Schar aller Kreise x^{2} + y^{2} = 2ax und stellen Sie die zugehörige Differentialgleichung auf.

134. Skizzieren Sie das Bild der Richtungsfelder mit einigen Lösungskurven für folgende Differentialgleichung: y′ = y − 1 und bestimmen Sie deren allgemeine Lösung.

135. Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen DGLen:

a) y′ + 6x^{5}y = x^{5}

b) y′ − ay = e^{mx} (Fallunterscheidungen für m = a und m ≠ a )

136. Gegeben ist die DGL (x + 1)y′ + 2y = 3(x + 1) . Bestimmen Sie die Integralkurve, die durch den Punkt P_{0}(1, 1) geht und skizzieren Sie diese ! Geben Sie die Gleichung der Tangente für x_{0} = 1 an.

137. Lösen Sie die Bernoullische DGL y′ − xy + y^{3}e^{−x^{2}} = 0 .

138. Man zeige, dass folgende DGL in der Form y′ = f(\frac{y}{x}) (Ähnlichkeits-DGL) angebbar ist und lösen Sie diese: x^{2}y′ − y^{2} + 6x^{2} = 0 .

139. Man löse die Differentialgleichung y′ = (x + y)^{2} .

Hinweis. Nach sinnvollem Substituieren sollten sich die Variablen trennen lassen.

140. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung von:

\begin{aligned}a) & y′′ & − & 4y′ & + & 3y & = 0 \\ b) & y′′ & − & 6y′ & + & 13y & = 0 \\ c) & y′′′ & − & y′′ & − & 5y′ − 3y & = 0 \\ d) & y^{(4)} & − & 8y′′ & − & 9y & = 0 \end{aligned}

141. Eine charakterisitische Gleichung besitzt die Lösungen λ_{1/2} = \underline{+} 1 und λ_{3/4} = −2 \underline{+} 3i. Wie lautet die zugehörige homogene DGL 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

142. Welcher Differentialgleichung genügen die gedämpften Schwingungen y = f(t) = Ae^{−2t} sin(t + β) mit den Parametern A und β ?

143. a) Man bestimme die allgemeine Lösung der Dgl.

y′′′ + 4y′′ + 5y′ + 2y = 0

b) Man ermittle die Wronskische Determinante der drei die Lösung bildenden Funktionen und zeige, dass diese linear unabhängig sind.

c) Wie lautet die spezielle Lösung, die die Anfangsbedingungen y(0) = 1 ; y′(0) = 0 ; y′′(0) = 1 erfüllt? Skizzieren Sie die Bildkurve dieser speziellen Lösung!

144. Gegeben sei die inhomogene DGL

y′′′ + y′′ − 5y′ + 3y = s(x) .

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL. Welche speziellen Ansätze sind zur Ermittlung einer partikulären Lösung geeignet bei folgenden Störfunktionen s(x) :

a) s(x) = 4x − 2x^{3}  b) s(x) = (3x + 2)e^{−x}
c) s(x) = 4x − e^{−3x}  d) s(x) = x^{2}e^{−3x}
e) s(x) = 2e^{x} + cos x  f) s(x) = −xe^{x}

145. Aus der allgemeinen Lösung der Gleichung

y′′ − 2y′ = e^{x}(x^{2} + x − 3)

ist diejenige Integralkurve zu ermitteln, die durch den Punkt P_{0}(0; 2) geht und dort die Tangente 2x − y + 2 = 0 hat.

146. (a) Lösen Sie das Anfangswertproblem :

y′′ + y′ = 4 sin x + 2 cos x y(\frac{π}{2} ) = 0 ; y′(\frac{π}{2} ) = 1

(b) Lösen Sie das Randwertproblem:

y′′ + 4y = 2x y(0) = 0 ; y(\frac{π}{4} ) = 0

(c) Wie lautet die Gleichung des Lösungsgraphen von y′′ + 2y′ + y = sin x der mit der Steigung m = \frac{1}{2} durch den Ursprung verläuft.

(d) Lösen Sie die Randwertaufgabe:

ẍ(t) + x(t) = 9 cos 2t ; x(0) = 1 ; x (\frac{π}{2} ) = 2 !

147. Gesucht sind die allgemeinen Lösungen von:

a) y′′ − 4y′ + 4y = 12xe^{2x}

b) 2y′′ + 8y − x = cos 2x

c) 2y′′ + 5y′ = 5x^{2} − 2x − 1 .