\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

%\vspace{-7cm}
%\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik,
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph\\
%
%
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Stochastik f"ur Ingenieure, SoSe 2005}\, 
\end{center}
{\bf Serie 4} (Quantile, verschiedene Verteilungen, Korrelation, Zentr. Grenzwertsatz)\\
%"Ubungsaufgaben befinden sich auch auf meiner Homepage\\
%http://www.math.uni-magdeburg.de/\,\,$\tilde{}\,\,$christop/lehre.htm\\
Einige und "ahnliche Aufgaben zu den hier aufgef"uhrten finden Sie (mit L"osungen) auf meiner Homepage\\
http://www.math.uni-magdeburg.de/home/christoph/\\
als Aufgaben zu meiner Starthilfe Stochastik.
%
%
\begin{enumerate}
\item[58.] (Siehe Aufgabe 3.37 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Eine Zufallsgr"o"se $X$ besitzt die Dichtefunktion\\
${}\qquad \qquad f(x)= (1/2)\, e^{-|x|}\,,\;\quad- \infty < x < \infty $\,.\\
%
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und die Quantile der Ordnung $0.4$, 
$0.5$ bzw. $0.7$!\\
%
Die Zahl $Q_p$ mit der Eigenschaft $F_X(Q_p)=p$ hei"st \emph{Quantil der 
Ordnung~$p$}~.
%
\item[59.] (Siehe Aufgabe 3.38 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Eine M"unze wird viermal geworfen. $X$ sei die zuf"allige Anzahl des 
Ergebnisses "`Zahl liegt oben"'.\\
%
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitstabelle von $X$!
%
\item[60.] (Siehe Aufgabe 3.40 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Ein Kunde vereinbart mit seinen Lieferanten, dass er eine Lieferung von 200 
St"uck zur"uckgehen l"asst, falls bei einer zuf"alligen Stichprobe von 20 
St"uck mehr als ein St"uck defekt ist.\\
%
Unter der Annahme, dass genau 10 der 200 St"ucke defekt sind, bestimme man 
die Wahrscheinlichkeit f"ur eine R"ucksendung auf Grund der Stichprobe!
Man setze eine Stichprobenentnahme\\
\quad a) mit Zur"ucklegen,\qquad b) ohne Zur"ucklegen voraus.
%
\item[61.] (Siehe Aufgabe 3.44 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Die Nutzungsdauer $X$ (in Zeiteinheiten) einer Sorte von Verschlei"steilen 
sei exponentialverteilt.\\
%
Die mittlere Nutzungsdauer wird mit 100 Zeiteinheiten angegeben.\\
%
a) Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass ein solches Verschlei"steil l"anger als 10 Zeiteinheiten genutzt 
werden kann,\\
b) von 5 solchen Teilen genau vier 10 Zeiteinheiten "uberleben?\\
c) Berechnen Sie die bedingte Wkt. 
$P(X\,<\,100\,|\,X\,\ge\,10)\,$!
%
\item[62.] (Siehe Aufgabe 3.47 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Die Zufallsgr"o"se $X$ sei normalverteilt mit $E(X)=0$ und $D^2(X)=1$.
Berechnen Sie \qquad
a)  $P(X \,\ge \,2.5)$, \qquad \qquad b)  $P(X \,< \,-1.5)$,\\
c)  $P(1.2 \,\le \,X \,< \,2.3)$, \qquad d)  $P(-1.1 \,\le \,X \,< \,3)$!
%
\item[63.] (Bitte sich erst Aufgabe 62 ansehen.)\\
Sei $X$ eine normalverteilte Zufallsgr\"o\ss{}e mit $\mu= 3$ und $\sigma = 2$. Bestimmen Sie die Konstanten $a, b, c$ 
derart, dass folgende Beziehungen gelten:\\
a) $P(X < a) = 0.9032$ \qquad \qquad b) $P(X \geq  b) = 0.7580$\\
c) $P(|X - \mu| < c) = 0.95$\,.
%
\item[64.] Auf zwei Drehautomaten werden die gleiche Art Werkst\"ucke hergestellt. Der Durchmesser der Werkst\"ucke 
soll 140 mm betragen. Die zul\"assige Toleranz ist $\pm 3 \, \mbox{mm}$. F"ur $i = 1, 2$ geben die Zufallsgr"o"sen 
$X_i$ den zuf"alligen Durchmesser der an dem $i$-ten Automaten hergestellten Werkst"uck an.\\
Automat I: $X_1$ sei normalverteilt mit $\mu_1 = 139\, \mbox{mm}$ und $\sigma_1 = 1\, \mbox{mm}$.\\
Automat II: $X_2$ sei normalverteilt mit $\mu_2 = 140\, \mbox{mm}$ und $\sigma_2 = 2\, \mbox{mm}$.\\
Bei welchem Automaten ist die Wahrscheinlichkeit des Produzierens von Ausschu\ss{} gr\"o\ss{}er (
\"Uberschreiten der Toleranzgrenzen)?
%

%
\item[65.]  (Siehe Aufgabe 3.48 zur Starthilfe)\\
Ein Automat fertigt Teile, deren L"ange $X$ eine normalverteilte 
Zufallsgr"o"se mit $\mu=40\,\mbox{mm}$ und $\sigma=0.5\,\mbox{mm}$ ist.\\
Der Toleranzbereich sei $[38.8\,millimeter\,; 41.0\,millimeter]$.\\
%
a) Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass ein gefertigtes 
St"uck normgerecht ist?\\
b) Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass von 3 ausgew"ahlten 
Teilen h"ochstens 2 normgerecht sind?\\
c) Wie viel Prozent der gefertigten Teile sind mindestens 
$38.6\,\mbox{mm}$ lang?\\
d) F"ur welchen Wert $b$ gilt $P(39.2\,\mbox{mm} \le{}X < b) = 0.9370$?\\
e) F"ur welchen Wert $c$ gilt $P(|X-\mu|<c)=0.95$?\\
f) Wie gro"s ist der normgerechte Anteil, wenn sich der Wert $\mu$ im 
Laufe der Zeit nach $40.2\,\mbox{mm}$ verschiebt?
%
\item[66.] (Siehe Aufgabe 3.49 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Die L"ange $X$ (in mm) von Stahlstiften sei angen"ahert 
normalverteilt mit $\mu=15$.
Ermitteln Sie die Standardabweichung, wenn 98\% der Stahlstifte zwischen 
$14\,\mbox{mm}$ und $16\,\mbox{mm}$ lang sind!
%
\item[67.] (Siehe Aufgabe 3.53 zur Starthilfe)\\
Erg"anzen Sie f"ur den Zufallsvektor $(X,Y)$ die folgende 
Verteilungstabelle!

\begin{tabular}{c|ccc|c}
${\atop{}\displaystyle{}X}$ ${\displaystyle{}Y\atop}$
           &   2   &   4   &   5   & $P(X=x_i)$\\
\hline
$-1$       & $0.1$ &    ?   & $0.3$ & $0.6$\\
1          &    ?   &     ?  &   ?    & ?\\
\hline
$P(Y=y_k)$ & $0.1$ & $0.4$ &   ?    & ? \\
\end{tabular}\\[1ex]
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz f"ur $X$ und $Y$!\\
b) Sind $X$ und $Y$ stochastisch unabh"angig? (Begr"undung!)\\
c) Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten!
%
%\subsection*{Aufgabe 52.}
\item[68.] (Siehe Aufgabe 3.52 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Ein Arbeiter stellt mit der Wahrscheinlichkeit $0.9$ ein Erzeugnis her, f"ur 
das ein Jahr Garantie "ubernommen werden kann. Mit der Wahrscheinlichkeit 
$0.09$ wird ein besch"adigtes Erzeugnis hergestellt, das sich jedoch ausbessern l"asst und 
damit mit der Wahrscheinlichkeit $0.01$ ein total unbrauchbares 
St"uck. 
Es seien $X$ die Anzahl der Erzeugnisse, f"ur die ein Jahr Garantie 
"ubernommen wird und $Y$ die Anzahl der besch"adigten St"ucke in einer Probe 
vom Umfang~3.\\
%
a) Bestimmen Sie die Verteilungstabelle der zweidimensionalen 
Zufallsgr"o"se $(X,Y)$!\\
b) Berechnen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten der Randverteilung von 
$X$ bzw. $Y$!\\
c) Wie lautet die Verteilungstabelle der bedingten 
Einzelwahrscheinlichkeiten von $X$ unter der Bedingung $\{Y=1\}$?
%
%\subsection*{Aufgabe 54.}
\item[69.] (Siehe Aufgabe 3.54 zur Starthilfe)\\
Zeigen Sie, dass die Funktion
$$
f(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
xy+y &\quad \mbox{f"ur}\quad  -1\le{}x\le1\,;\;0\le{}y\le1\\
0    & \quad \mbox{sonst}
\end{array}
\right.
$$
die Eigenschaften einer Dichtefunktion eines Zufallsvektors $(X,Y)$ 
besitzt!\\
a) Ermitteln Sie die Randdichten!  \qquad  b) Sind $X$ und $Y$ unabh"angig?\\
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $P( (X,Y)\in{}B )$ mit\\ 
${} \qquad \qquad B = \{\;(x,y)\;\;|\;\;x^2+y^2\le1;y\ge0\;\}$!
%
\item[70.] (Siehe Aufgabe 3.59 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
%\subsection*{Aufgabe 62.}
Die Zufallsgr"o"sen $X_i$, $i=1, 2, 3,$ seien unabh"angig und identisch 
verteilt. Bekannt sind ihre Kennwerte $E(X_i)=4$ und $Var(X_i)=1$.\\
Es seien $Y_1 = ( X_1 + X_2 ) / 2$ und 
$Y_2 = ( X_1 + X_2 + X_3 ) / 3$.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgr"o"sen $Y_1$ 
und $Y_2$  sowie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten zwischen $Y_1$ und $Y_2$\, !

%
\item[71.] Ein homogener W\"urfel wurde 500 mal geworfen. Die Augenzahl 4 trat dabei 60-mal auf. In diesem Versuch 
betr"agt die Abweichung der relativen H\"aufigkeit 60/500 = 0.12  von der Wahrscheinlichkeit 1/6 = 0.1666  also 0.0466. 
Berechnen Sie eine obere 
Schranke der Wahrscheinlichkeit, dass bei 500 W\"urfen mit einem homogenen W\"urfel die relative H\"aufigkeit 
einer Augenzahl um 0.0466 oder mehr vom Erwartungswert 1/6 abweicht.
%
\item[72.] Ein Meinungsforschungsinstitut f\"uhrt eine ,,repr"asentative Umfrage'' durch, um den Stimmenanteil 
$p\in (0;1)$ f\"ur eine Partei $A$ bei den bevorstehenden Wahlen zu prognostizieren. Betrachten Sie das Ereignis, 
dass f\"ur die Anzahl $X$ der ,,A-W\"ahler'' in der Stichprobe (vom Umfang $n$) gilt: 
$\vert \frac{X}{n} - p\vert < 0,002$. Der Stichprobenumfang $n$ soll so gro\ss{} gew\"ahlt werden, dass dieses 
Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 \, \%$ hat. Bestimmen Sie ein solches $n$ mit Hilfe der 
Ungleichung von Tschebyschew.\\
{\underline{Hinweis:}} Betrachten Sie als Modell f\"ur das Zufallsexperiment ,,Umfrage'' den $W$-Raum mit der 
$Bi(n,p)$-Verteilung. Verwenden Sie dabei die f\"ur alle $p \in (0 , 1)$ g\"ultige Ungleichung $p(1-p) \leq 1 / 4$.
%
%\subsection*{Aufgabe 59.}
\item[73.] (Siehe Aufgabe 4.60 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Ein idealer W"urfel wird 100-mal geworfen. $X$ sei die Augensumme.\\
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von $X$!\\
b) Berechnen Sie n"aherungsweise die Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass die 
Zufallsgr"o"se $X$ Werte im Intervall $[330 , 380]$ annimmt!
%
%\subsection*{Aufgabe 61.}
\item[74.] (Siehe Aufgabe 4.61 zur Starthilfe, mehr zum Selbststudium)\\
Wie oft muss man eine M"unze werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit 
von $0.9973$ behauptet werden kann, dass der Unterschied von relativer 
H"aufigkeit des Ereignisses "`Zahl liegt oben"' und der Wahrscheinlichkeit 
dieses Ereignisses dem Betrage nach kleiner als $0.01$ ist?
\item[75.]
Ein Flugzeug hat 200 Pl\"atze, die Fluggesellschaft akzeptiert aber bis zu 220 Buchungen, da 
erfahrungsgem\"a\ss{} ein einzelner Flugpassagier (unabh\"angig von den anderen Passagieren) mit der 
Wahrscheinlichkeit $p=0.1$ den Flug nicht antritt.\\ 
a) Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes von 
de Moivre-Laplace (mit Stetigkeitskorrektur) die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass bei 220 Buchungen mehr als 
200 Flugg\"aste den Flug antreten wollen.\\
b) Wie gro\ss{} darf die Anzahl der akzeptierten Buchungen h\"ochstens sein, damit die Wahrscheinlichkeit, 
dass alle Flugg\"aste einen Platz in der Maschine bekommen, mindestens 0.95 betr\"agt?

\item[76.] Die Zufallsvariable $X$ gebe die Anzahl der Treffer in $n=900$ unabh\"angigen Versuchen und 
$H_{900} = \frac{X}{900}$ die Trefferh\"aufigkeit an, die Trefferwahrscheinlichkeit sei $p=\frac{1}{6}$. Mit welcher 
Wahrscheinlichkeit ist die Bedingung $|H_{900} - \frac{1}{6}| > \frac{1}{36}$ erf\"ullt? Berechnen Sie die gesuchte 
Wahrscheinlichkeit n\"aherungsweise mit Hilfe der Normalverteilung.

\item[77.] Ein Vertriebsunternehmen besitzt in einer Gro\ss{}stadt 200 Zigarettenautomaten. Jeder Automat hat 
(unabh\"angig von den anderen) innerhalb einer Kalenderwoche mit Wahrscheinlichkeit $5 \%$ eine St\"orung. F\"ur die 
Entscheidung \"uber die Gr\"o\ss{}e eines Serviceteams ist die Wahrscheinlichkeit von Interesse, dass in einer 
Kalenderwoche die Anzahl $X$ der defekten Automaten zwischen 5 und 15 liegt.\\
a) Sch\"atzen Sie diese Wahrscheinlichkeit mittels der  Tschebyschew-Ungleichung nach unten ab.\\
b) Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit approximativ mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes von 
de Moivre-Laplace (mit Stetigkeitskorrektur).



%

\end{enumerate}
\end{document}