\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\newcommand{\D}{\displaystyle}
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%\input amssym12.def
%\input amssym12
\begin{document}

%\vspace{-7cm}
%\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik,
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph\\[1ex]
%
%Edgar Allan Poe in {\it Der Doppelmord in der Rue Morgue}:\\
%Zuf"alle sind im allgemeinen gro"se Steine des Ansto"ses 
%auf dem Wege jener Klasse von Denkern, die man nichts von der Theorie der
%Wahrscheinlichkeit gelehrt hat - jener Theorie, der die glorreichsten Gegenst"ande
%menschlicher Forschung ihre glorreichste Erhellung verdanken.\\[1ex]
%
{\bf "Ubungen:}\\
f"ur den Studiengang WLO 4\\
Mi 11:15 - 12:45 G02-109 Tutor IMST\\%im Leitner\\
Fr 11:15 - 12:45 G05-312 Tutor IMST\\
Fr 13:15 - 14:45 G22A-111 Frau Dr. Brigitte Leneke\\[1ex]
%
f"ur den Studiengang BSYT 4\\
Mo 9:15 - 10:45 G05-300 Tutor IMST\\
Mo 11:15 - 12:45 G02-111 Dr. Axel Lehmann\\
Di 9:15 - 10:45 G02-210  J"urgen Suberg\\[1ex]
%
f"ur die Studieng"ange MB 4, MSPG 4, UEPT 4 und VT 4\\
Mo 9:15 - 10:45 G05-209 Dr. Axel Lehmann\\
Mi 7:30 - 9:00 G22A-112 Tim Leitner\\
Do 13:15 - 14:45 G22A-112 Frau Dr. Brigitte Leneke\\[1ex]
%
f"ur die Studieng"ange  ET 2, IT 2, STK 2, WET 2\\
Mo 15:15 - 16:45 G05-118 Dr. Axel Lehmann\\
Di 11:15 - 12:45 G22A-111 J"urgen Suberg\\
Mi 9:15 - 10:45 G22A-112 Tim Leitner\\
Do 11:15 - 12:45 G22A-112 Tutor IMST\\[2ex]
%
{\bf Empfehlenswerte B"ucher}\\[1ex]
%\begin{tabular}{lp{12.3cm}}
{\bf Christoph/Hackel:} Starthilfe Stochastik. Teubner-Verlag 2002.\\
Diese Starthilfe basiert zum Teil auf meinen Vorlesungen {\it Stochastik f"ur Ingenieure}.
Aus rechtlichen Gr"unden darf ich den Text nicht ins Netz stellen. Auf meiner Homepage 
http://www.math.uni-magdeburg.de/home/christoph/
finden Sie weitere Aufgaben, teilweise mit L"osungshinweisen.
\\[1ex]
{\bf Beichelt/Montgomery} (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Stochastik, Teubner 2003.
(Sehr zu empfehlen, nicht nur weil ich ein Mitautor bin.)\\[1ex]
{\bf Bosch,~K.:} Elementare Einf"uhrung in die angewandte Statistik. 
Braunschweig: Vieweg-Verlag 2000. \\[1ex]
{\bf Beichelt, F.:} Stochastik f"ur Ingenieure. Teubner, Stuttgart, 1995.\\[1ex]
{\bf Beyer,~O.; Hackel,~H.; Pieper,~V.; Tiedge,~J.:}
  Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik.
  Stuttgart-Leipzig: Teubner-Verlag 1999. \\[1ex]
{\bf Henze,~N.:\/} Stochastik f"ur Einsteiger. Braunschweig: Vieweg-Verlag 2000. \\[1ex]                    
{\bf Lehn,~J.; Wegmann,~H.:} Einf"uhrung in die Statistik. Stuttgart:
                   Teubner 2000. \\[1ex]
{\bf Lehn,~J.; Wegmann,~H.; Rettig,~S.:} Aufgabensammlung zur Einf"uhrung in die Statistik.
                 Stuttgart: Teubner-Verlag 2001. \\[1ex]
{\bf Nollau,~V.; Partzsch,~L.; Storm,~R.; Lange,~C.:}
                   Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen
                   und Aufgaben.
                   Stuttgart-Leipzig:
                   Teubner 1997. \\[1ex] 
{\bf Storm,~R.:} Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik                                      und
                   statistische Qualit"atskontrolle. 
                   Leipzig: Fachbuchverlag 2001. 
 %
%\newpage
\noindent
"Ubungsaufgaben befinden sich auch auf meiner Homepage\\
http://www.math.uni-magdeburg.de/\,\,$\tilde{}\,\,$christop/lehre.htm
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Stochastik f"ur Ingenieure, SoSe 2005}\, 
\end{center}
{\bf Serie 1 (Kombinatorik, Ereignisse)}\\[1ex]
%
%
{\bf Kombinatorik} befasst sich mit {\bf Anordnungs- bzw. Auswahlproblemen}:
%
\vspace{0.2cm} 
\begin{center}
\begin{minipage}{17cm} 
\index{Permutation|)}
\index{Kombination|)}
\index{Variation|)}
\beginpicture % \footnotesize 
\setlinear \thicklines
   \setcoordinatesystem units <5.5mm,7mm> %point at 0 8
\put{{\bf Permutationen} zu $n$ Elementen ({\bf Anordnungsprobleme})} at  0 0
\put{Unterscheidbare Elemente} at -8  -1.5 
\put{$m$ Gruppen jeweils identischer Elemente} at 6.5  -1.5
\setlinear 
\plot  -1 -0.4  -7.5 -1 /
\plot  1  -0.4   7.5 -1 /
\put{\vector(-2,-1){1}}[Bl]  at -7.7 -1.05
\put{\vector(2,-1){1}} [Bl] at 7.7 -1.05
\put{$P_n = n!$}  at -8  -2.4
\put{$P_n(k_1,k_2,\ldots,k_m) = 
   \frac{\D n!}{\D k_1!\cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!}\; $ mit $\, \sum_{i=1}^m k_i = n$} 
      at 6 -2.4
\put{Auswahl von $k$ Elementen aus $n$ unterscheidbaren Elementen ({\bf Auswahlprobleme})} at 0 -4
\setlinear 
\plot -1 -4.4  -7.3  -5.2 /
\plot  1 -4.4   7.3  -5.2 /
\put{\vector(-2,-1){1}} [Bl] at -7.4 -5.25
\put{\vector(2,-1){1}} [Bl] at 7.4 -5.25
\put{mit Ber"ucksichtigung der Reihenfolge} at -7.3 -5.5 
\put{ohne Ber"ucksichtigung der Reihenfolge} at 7.1 -5.5
\put{{\bf Variationen} zu $k$ Elementen} at -7 -6.2
\put{{\bf Kombinationen} zu $k$ Elementen} at 7 -6.2
\put{ohne Wiederholungen} at -10.5 -8
\put{mit Wiederholungen} at -3.5 -8
\put{ohne Wiederholungen} at 3.5 -8 
\put{mit Wiederholungen} at  11  -8
\put{$V_n^k=\frac{\D n!}{\D (n-k)!}$} at  -11  -9
\put{$^wV_n^k = n^k$} at -3.5 -9
\put{$C_n^k = {\D \,n\, \choose \D \,k\, }$} at 3.5 -9
\put{$^wC_n^k = {\D \,n+k-1 \choose \D k\, }$} at 11  -9
\setlinear 
\plot  -7.6 -6.6  -11 -7.6 /
\plot  7.6 -6.6  11 -7.6 /
\plot  -7  -6.6  -3 -7.6 /
\plot  7 -6.6  3 -7.6 /
\put{\vector(-2,-1){1}} [Bl] at -11 -7.6
\put{\vector(2,-1){1}} [Bl] at 11 -7.6
\put{\vector(2,-1){1}} [Bl] at -3 -7.6
\put{\vector(-2,-1){1}} [Bl] at 3 -7.6 
\setlinear 
\plot -14.5 0.6   15.0  0.6  15.0  -9.8  -14.5  -9.8  -14.5 0.6  /
\plot -14.5 -3.3  14.9 -3.3 /
\endpicture
%\vspace{0.5cm}
%\bil{\label{a122} "Ubersicht zu Anzahlen von Permutationen, Variationen und Kombinationen}
%\endpicture 
\end{minipage}\\[4ex]
\end{center}
%
%
\begin{enumerate}
\item[1.]In wie vielen Permutationen der acht Elemente 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 stehen 
die Elemente 2, 4, 6, 8 nebeneinander und zwar\\
(a) in der angegebenen Reihenfolge, bzw. (b) in beliebiger Reihenfolge?
%
\item[2.]
Gegeben sei eine Menge $M$ mit $M =\{1; 2; 3; 4\}$. Wie viele verschiedene 
Zahlen lassen sich aus den Elementen von $M$ bilden, wenn es sich um
\begin{enumerate}
\item vierstellige Zahlen ohne Wiederholungen von Ziffern handelt,
\item zweistellige Zahlen ohne Wiederholungen von Ziffern handelt,
\item zweistellige Zahlen mit Wiederholungen von Ziffern handelt,
\item achtstellige Zahlen handelt, die dreimal die 1, zweimal die 2 und 
zweimal die 3 enthalten?
\end{enumerate}
%
\item[3.]
Eine Lieferung von 30 durchnummerierten Ger"aten enth"alt 5 fehlerhafte Ger"ate. Nacheinander 
(ohne Zur"ucklegen) werden 6 Ger"ate ausgew"ahlt und gepr"uft.\\
(a) Wie viele verschiedene Stichproben sind m"oglich?\\
(b) Wie viele Stichproben gibt es, die genau 3 fehlerhafte Ger"ate 
enthalten?\\
(c) Wie viele Stichproben gibt es, die wenigstens 1 fehlerhaftes Ger"at 
enthalten?
%
\item[4.] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.4)\\
Ein Fu"sballverein absolviert in einer Saison 34 Spiele. Die Mannschaft 
gewinnt 20 Spiele, 10 werden verloren und 4 gehen unentschieden aus.\\
Auf wie viele Arten k"onnte dieses Resultat entstanden sein?
%
\item[5.] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.5)\\
F"unf nicht unterscheidbare Kugeln sollen auf drei K"astchen verteilt werden.
Gesucht ist die Anzahl der verschiedenen Aufteilungen.
%
\item[6.] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.6)\\
Die Qualit"at von 10 Erzeugnissen wird "uberpr"uft 
("`Gut-schlecht-Pr"ufung"').
%
(a) Wie viele verschiedene Pr"ufungsprotokolle sind insgesamt 
m"oglich?\\
(Als Beispiel sei das Protokoll $\;g, s, s, g, s, g, g, s, g, g\;$ 
angegeben.)\\
(b) Wie viele Protokolle enthalten das Element $\;g\;$ genau sechsmal?\\
(c) Wie viele Protokolle enthalten das Element $\;g\;$ genau $k$-mal ($k=0,1,\dots,10$)?
%
\item[7.] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.7)\\
Acht Sportler nehmen an einem Endlauf teil.
Wie viele M"oglichkeiten gibt es, die Namen der drei Erstplatzierten
(a) in beliebiger Reihenfolge,\\ (b) in der richtigen Reihenfolge vorherzusagen?
%
\item[8.] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.8)\\
Gegeben sei die Menge $E$ mit den Elementen $E_1,E_2,\ldots,E_n$.
Zeigen Sie, dass die Potenzmenge von $E \quad  2^n $ Elemente enth"alt!
\item[9.]
$A_i$ bedeute, dass die $i$-te Maschine ($i = 1; 2; 3$) w"ahrend der Zeit $t$ 
ausf"allt. Erfassen Sie formelm"a"sig (unter Verwendung der "ublichen 
Mengenoperationen) die Ereignisse:\\
(a) Keine Maschine f"allt aus. \\
(b) Mindestens eine Maschine f"allt aus. \\
(c) Mindestens eine Maschine f"allt nicht aus.\\
(d) Nur die dritte Maschine f"allt aus.\\
(e) Genau eine Maschine f"allt aus. 
%
\item[10.]
Vier Erzeugnisse werden gepr"uft. Geben Sie mit Hilfe der Ereignisse $A =$  \{{\it Minde\-stens ein St"uck ist einwandfrei.}\} 
und $B =$ \{{\it H"ochstens ein St"uck ist einwandfrei.}\} in Worten die Bedeutung folgender Ereignisse an:
$\overline{A}$\,, $\overline{B}$\,, $A \cup B$\,, $A \cap B$\,, $\overline{A} \cap B$\,, 
$\overline{A} \cap \overline{B}$ und $A \, \setminus \, B$\,!
%
\item[11.] 
Ein System (Zuverl"assigkeitsersatzschaltung) hat folgende Struktur:\\
\par
\unitlength 1mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(140.00,28.00)
\put(5.00,15.00){\line(1,0){10.00}}
\put(15.00,15.00){\line(0,1){10.00}}
\put(15.00,25.00){\line(1,0){10.00}}
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\put(35.00,25.00){\line(1,0){10.00}}
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\put(100.00,25.00){\line(-1,0){20.00}}
\put(80.00,15.00){\line(1,0){20.00}}
\put(110.00,25.00){\line(1,0){20.00}}
\put(130.00,25.00){\line(0,-1){10.00}}
\put(130.00,15.00){\line(-1,0){20.00}}
\end{picture}
\par
Das Ereignis
$A_i$ bedeute, dass das $i$-te Bauelement ($i=1,2,\dots ,7$) w"ahrend
der Zeit $t$ nicht ausf"allt, und $S$, dass das System nicht
ausf"allt. Dr"ucken Sie die Ereignisse $S$ und $\bar{S}$ durch die
Ereignisse $A_i$ aus!
%
\item[12.] Bei 300 W"urfen mit einem W"urfel 
traten die Augenzahlen $k$ mit folgenden absoluten H"aufigkeiten $h_{300}(k)$ f"ur 
$k=1,\ldots,6\,$ auf:\\[1ex]
\begin{minipage}{6.8cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{r|r|r|r|r|r|r}
$k$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
$h_{300}(k)$ & 42 & 57 & 53 & 45 & 54 & 49 \\
\end{tabular}\\ 
\end{center}
\end{minipage}\\[1ex]
F"ur die Ereignisse $A = $ \{{\it Eine Eins erscheint}.\},
$B = $ \{{\it Mindestens eine Drei wird gew"urfelt}.\}
und  $C = $ \{{\it Eine gerade Zahl erscheint}.\}
sowie 
f"ur $\overline B$,
 $A\cup B $ und $ B \cup C $  sollen die relativen H"aufigkeiten $H_{300}(.)$ sowie die 
bedingten relativen H"aufigkeiten $H_{300}(B|C)$ und $H_{300}(C|B)$ bestimmt werden. 
\item[13.]
Zeigen Sie, dass die relative H"aufigkeit $H_n (\cdot)$ folgende 
Eigenschaften besitzt: \\
F"ur alle nat"urlichen Zahlen $n$ gilt\\
%\begin{enumerate}
%\item[(a)] 
(a) $H_n (\emptyset) = 0\,,\quad$  (b) $H_n (\bar A) = 1 - H_n (A)$,\\
%\item[(c)] 
(c) $H_n (A \cup B) = H_n (A) + H_n (B) - H_n (A \cap B)$.\\
%\end{enumerate}
Dabei sind $A$ und $B$ beliebige Ereignisse eines Zufallsexperimentes.
%
\item[14] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.15)\\
Eine M"unze wird viermal geworfen.
%
Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass die "`Zahl"'\\
(a) genau zweimal,\quad  (b) h"ochstens einmal,\\
(c) mindestens einmal oben liegt?
%
\item[15.]
Unter 20 Losen befinden sich genau zwei Gewinnlose. Auf "`gut Gl"uck"' zieht man drei Lose.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erh"alt man
\begin{enumerate}
\item[(a)] genau ein Gewinnlos,\quad  (b) beide Gewinnlose,
\item[(c)] h"ochstens ein Gewinnlos? 
\end{enumerate}
%
\item[16.] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.16)\\
In einem Beh"alter liegen 20 Maschinenteile, davon sind 6 fehlerhaft. Es 
werden willk"urlich nacheinander und ohne Zur"ucklegen 4 Teile ausgew"ahlt.
%
Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass solch eine Stichprobe
\begin{enumerate}
\item{}genau 2 fehlerhafte St"ucke,
\item{}h"ochstens ein fehlerhaftes St"uck,
\item{}mindestens ein fehlerfreies St"uck enth"alt?
\end{enumerate}

%
\item[17.] (Selbststudium, Starthilfe Aufgabe 2.17)\\
In einer Urne sind 3 schwarze und 2 wei"se Kugeln. Es werden gleichzeitig 2 
Kugeln gezogen.
%
Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass
\begin{enumerate}
\item{}eine schwarze Kugel gezogen wird,
\item{}zwei schwarze Kugeln gezogen werden,
\item{}wenigstens eine schwarze Kugel gezogen wird?
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}