Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Übungsaufgaben zu Mathematik I für Ingenieure, WS 2006/7 Serie 1, Ungleichungen, Komplexe Zahlen

Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage: http://www.math.uni-magdeburg.de/∼christop/ unter Lehre.

1. Geben Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen an:

a) 3 − 2x > x − 9  b) (x − 3)(x + 5) < 0  c) 5x − x^{2} ≥ 0
d) \frac{2x − 1}{x + 2} < 0  e) \frac{5 − x}{2 + x} > 3  f) x − 4 ≤ \frac{9}{x + 4}
g) 1 − lg (2x + 7) > 0 h) sin 2x · cos x ≤ 0 .

2. Zwei Widerstände werden parallel- bzw. hintereinandergeschaltet. Für den Gesamtwiderstand gilt \frac{1}{R_{P}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} bzw. R_{H} = R_{1} + R_{2}. Zeigen Sie, dass die Ungleichung R_{H} ≥ 4R_{P} gilt !

3. Gesucht sind die Lösungsmengen für:

a) |x| ≥ 5 b) |x − 5| ≤ 2 c) x^{2} − 5 = 4|x|

d) \frac{2x}{|x − 1|} > 1 e) \frac{x^{2}}{x − 2} < |x + 1| − 1 f) |3 − x| > 17 − |2x + 7|

.

4. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen:

a) y = |x| + 2 b) y = |2x + 1| c) y = |x| + |x − 2|

d) y = |(x − 2)(x + 4)| e)y = 1 + | sin 2x| f) y = |ln(x − 2)| !

5. Für welche x gilt die Ungleichung

\frac{3x^{2} + 2}{x − 3} + 1 < 3x ?

6. Für welche Punkte der (x, y) - Ebene gilt (Skizze !):

a) (x + 3)y > 2

b) |x · y| = 1

c) |y + 2x| ≤ 1

d) |x + 2| + |y − 1| ≤ 1 ?

7. Gegeben sind z_{1} = 2 + 3i und z_{2} = 3 − 5i.

Berechnen Sie: z_{1} + z_{2}, z_{1} − z_{2}, z_{1} · z_{2}, \frac{z_{1}}{z_{2}} , \overline{z}_{2} · z_{1}, z_{2} · \overline{z}_{2}, |z_{2}|.

Deuten Sie |z_{1} − z_{2}| geometrisch.

8. Man bestimme den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahlen:

\begin{matrix}a) z = \frac{3}{2 + i} & b) z = \frac{3 + 2i}{1 + i} \\ c) z = (\frac{1 − i}{1 + i})^{2} & d) z = \frac{(5 + i)(2 − 3i) + 2i^{5}}{(2 + 3i)^{2} − (4 + i^{7})} . \end{matrix}

9. Für welche Punkte z = x + iy der Gaußschen Zahlenebene gilt: a) |z| = 2, b) |z| > 3 c) |z − 3i| < 1

d) |z − (3 + 2i)| = 1 e) 2 ≤ |z − 1| ≤ 4 ? Skizzieren Sie die jeweiligen Lösungsmengen im Kartesischen Koordinatensystem (x, y).

10. Für welche Punkte z = x + iy der Gaußschen Zahlenebene gilt: (a) z · \overline{z} = 4 ;

(b) |z| − Re(z) = 4 ;

(c) Re(z^{2}) = 4 ! Skizzieren Sie die jeweiligen Lösungsmengen im Kartesischen Koordinatensystem (x, y).

11. Geben Sie z_{1} = −1 + i und z_{2} = 1 − \sqrt{3} i in der trigonometrischen und exponentiellen Form an berechnen Sie dann z_{1}^{4} und z_{2}^{5} !

12. Gegeben sind die komplexen Zahlen

z_{1} = 2 (cos \frac{3}{2}π + i sin \frac{3}{2}π) und z_{2} = 1 − \sqrt{3}i .

Berechnen Sie w = z_{1} : z_{2}, w^{4} und ^{3} \sqrt{z_{2}} !

13. Lösen Sie folgende Gleichungen:

a) z^{2} − 6z + 13 = 0 b) z^{3} − 8 = 0
c) z^{4} = \sqrt{3} i − 1  d) (1 − i)z^{3} − 8i = 0

e) z^{2} − 2iz + 8 = 0.

14. Finden Sie die Gleichungen, die nur die angegebenen Lösungen besitzen: a) z_{1} = 2 + 3i; z_{2} = 2 − 3i b) z_{1} = −2 ; z_{2} = 3i; z_{3} = −3i .