\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph
\begin{center}
\bf{ "Ubungsaufgaben zu Mathematik I f"ur Ingenieure, WS 2006/7}\\ 
\bf{Serie 1, Ungleichungen, Komplexe Zahlen}
\end{center}
Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage:\\
 http://www.math.uni-magdeburg.de/$\sim$christop/ \quad unter Lehre.
\begin{enumerate}
\item 
Geben Sie die L"osungsmengen folgender Ungleichungen an:\\[1ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \quad 3 - 2x > x - 9 & \quad \mbox{b)} \quad (x-3)(x+5) < 0 & 
\quad \mbox{c)} \quad 5x - x^2 \geq 0\\[1ex]
\mbox{d)} \quad \frac{\displaystyle 2x-1}{\displaystyle x+2} < 0 & \quad \mbox{e)} \quad 
\frac{\displaystyle 5-x}{\displaystyle 2+x} > 3 & \quad \mbox{f)} \quad x - 4 \leq 
\frac{\displaystyle 9}{\displaystyle x+4} \\[1ex]
\mbox{g)} \quad 1 - \; \mbox{lg} \; (2x + 7) > 0 & \quad \mbox{h)} \quad 
\sin 2x \cdot \cos x \leq 0 \quad .
\end{array}
$
\item
Zwei Widerst"ande werden parallel- bzw. hintereinandergeschaltet.
F"ur den Gesamtwiderstand gilt $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_P} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_1} + 
\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_2}$ bzw. $ R_H = R_1 + R_2$. \\
Zeigen Sie, dass die Ungleichung $R_H \geq 4 R_P$ gilt !
\item
Gesucht sind die L"osungsmengen f"ur:\\[2ex]
$ a) \quad |x| \geq 5  \quad \quad b) \quad  |x-5| \leq 2 \quad \quad  
c) \quad   x^2 - 5 = 4 |x|$\\[2ex]
$ d)\quad  \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle |x-1|} > 1 \quad \quad  
e) \quad  \frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle x-2} < |x+1|-1 \quad \quad  f)
\quad |3-x| > 17 - |2x + 7|$ .
\item
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen: \\[2ex]
$ a) \quad y = |x| + 2 \quad \quad b) \quad y = |2x + 1| \quad \quad c) \quad 
y =  |x| + |x-2|$\\[2ex]
$d) \quad y = | (x-2)(x+4)| \quad \quad e) y = 1 + | \sin 2x| \quad \quad 
f) \quad y = | \mbox{ln} (x-2) | \quad !$
\item
F"ur welche $x$ gilt die Ungleichung  
$$
\frac{\displaystyle 3x^2 + 2}{\displaystyle x - 3} + 1 < 3x \quad ?
$$
\item
F"ur welche Punkte der $(x,y)$ - Ebene gilt (Skizze !):\\
a) $(x + 3) y > 2 $\\[1ex]
b) $|x \cdot  y| = 1 $\\[1ex]
c) $|y + 2x| \leq 1 $\\[1ex]
d) $|x + 2| + |y - 1| \leq 1 \quad ?$
\item
Gegeben sind $z_1 = 2+3i$ und $z_2 = 3 - 5i$.\\
Berechnen Sie: $z_1 + z_2, z_1 - z_2, z_1 \cdot z_2 , 
\frac{\displaystyle z_1}{\displaystyle z_2} , \overline{z}_2 \cdot z_1 , z_2 \cdot 
\overline{z}_2 , | z_2 | $.\\
Deuten Sie $|z_1 - z_2|$ geometrisch.
\item
Man bestimme den Realteil und den Imagin"arteil der 
komplexen Zahlen:\\[1ex]
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad z = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2+i} & \mbox{b)} \quad
z = \frac{\displaystyle 3 + 2i}{\displaystyle 1 + i}\\[1ex]
\mbox{c)} \quad z = \left( \frac{\displaystyle 1-i}{\displaystyle 1+i} \right)^2 & 
\mbox{d)} \quad z = \frac{\displaystyle (5+i)(2-3i) + 2i^5}{\displaystyle (2+3i)^2 - 
(4+i^7)} \quad .
\end{array}
$
\item
F"ur welche Punkte $z = x+iy$  der Gau"sschen Zahlenebene gilt:\\[2ex]
$a) \quad |z| = 2 , \quad b) \quad |z| > 3 \quad \quad 
c) \quad |z - 3i| < 1$\\[2ex]
$d) \quad |z - (3 + 2i)| = 1 \quad \quad \quad e) \quad 2 \leq |z-1| \leq 4 $ ? \\[2ex] 
Skizzieren Sie die jeweiligen L"osungsmengen im Kartesischen Koordinatensystem $(x,y)$. 
\item[10.] F"ur welche Punkte $z = x+iy$ der Gau"sschen Zahlenebene gilt:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $z \cdot \overline{z} = 4$ ;
\item[(b)] $|z| - Re (z) = 4$ ;
\item[(c)] $Re (z^2) = 4 $ ! 
\end{enumerate}
Skizzieren Sie die jeweiligen L"osungsmengen im Kartesischen Koordinatensystem $(x,y)$. 
\item[11.]
Geben Sie $z_1 = -1 + i$ und $z_2 = 1 - \sqrt{3} \; i$ in der 
trigonometrischen und exponentiellen Form an berechnen Sie dann $z^4_1$ und 
$z^5_2$ !
\item[12.]
Gegeben sind die komplexen Zahlen
$$
z_1 = 2 \left (\cos \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pi + i \sin \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \pi 
\right) \quad \mbox{und} \quad z_2 = 1 - \sqrt{3} i \, .
$$
Berechnen Sie $w = z_1 : z_2 ,\quad w^4$ und $\sqrt[3]{z_2}$ !
\item[13.]
L"osen Sie folgende Gleichungen:\\[1ex]
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)}\quad z^2 - 6z + 13 = 0 & \quad \mbox{b)} \quad z^3 - 8 = 0\\[1ex]
\mbox{c)} \quad z^4 = \sqrt{3} \; i - 1 & \quad \mbox{d)} \quad (1-i) 
z^3 - 8i = 0\\[1ex]
\mbox{e)} \quad z^2 - 2iz + 8 = 0 .
\end{array}
$
\item[14.]
Finden Sie die Gleichungen, die nur die angegebenen L"osungen besitzen:\\[1ex]
$a) \quad z_1 = 2 + 3i \, ; \, z_2 = 2-3i \quad \quad 
b) \quad z_1 = -2 \, ; \, z_2 = 3i \, ; \, z_3 = -3i \quad .$
\end{enumerate}


\end{document}
