Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Übungsaufgaben zu Mathematik I für Ingenieure, WS 2006/07 Serie 2, Determinanten, Matrizen

Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage: http://www.math.uni-magdeburg.de/∼christop/ unter Lehre.

15. Berechnen Sie:

a) | \begin{matrix}2 & 3 \\ −5 & 4 \end{matrix} |  b) | \begin{matrix}3 & 2 \\ 4 & −5 \end{matrix} |  c) | \begin{matrix}e^{x} & e^{−2x} \\ e^{x} & −2e^{−2x} \end{matrix} |

d) | \begin{matrix}4 & 2 & 1 \\ −2 & 3 & 2 \\ 3 & −2 & 3 \end{matrix} |  e) | \begin{matrix}2a & 2a & −2a \\ a & −a & a \\ 3a & −3a & −3a \end{matrix} |  f) | \begin{matrix}a & a + 1 & a − 1 \\ a + 1 & a − 1 & a \\ a − 1 & a & a + 1 \end{matrix} | !

16. Für welche reellen Werte von x gilt:

a) | \begin{matrix}3 & 1 & 2 \\ 2 + 2x & 0 & 4 \\ 1 & 2 − x & 0 \end{matrix} | = 0 b) | \begin{matrix}−1 & −1 & x − 1 \\ 0 & 1 − x & −1 \\ 1 − x & 0 & −3 \end{matrix} | = 0

c) | \begin{matrix}x + 1 & 1 & 2 \\ 2 & x & −1 \\ 3 & 1 & x \end{matrix} | = 0 ?

17. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen:

a) f(x) = | \begin{matrix}ln x & ln(x + 2) \\ −1 & 2 \end{matrix} | b) f(x) = | \begin{matrix}3 & 1 & 2 \\ 2 + 2e^{x} & 0 & 4 \\ 1 & 2 − e^{x} & 0 \end{matrix} | !

18. Berechnen Sie möglichst geschickt folgende Determinanten:

a) | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix} | b) | \begin{matrix}3 & −4 & 5 & −10 \\ 5 & 2 & 1 & 7 \\ −2 & 1 & 6 & 3 \\ 1 & −2 & 4 & −4 \end{matrix} | c) | \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2 & 4 \\ −1 & 1 & 4 & 3 & 1 \\ 2 & −4 & 1 & 9 & −2 \\ 4 & 0 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 5 & 4 \end{matrix} | !

19. Welche Kurven werden durch folgende Gleichungen erfasst?

a) | \begin{matrix}x & y & 1 \\ −1 & 3 & 1 \\ 4 & −2 & 1 \end{matrix} | = 0 b) | \begin{matrix}x^{2} + y^{2} & x & y & 1 \\ 13 & −2 & 3 & 1 \\ 53 & 2 & 7 & 1 \\ 5 & 2 & −1 & 1 \end{matrix} | = 0

20. Stellen Sie mit Hilfe einer Determinante die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte P_{1}(−2; 3) und P_{2}(1; 5) geht!

21. Welche geometrische Deutung besitzt die Gleichung

| \begin{matrix}x^{2} + y^{2} & x & y & 1 \\ 26 & 5 & −1 & 1 \\ 50 & −1 & 7 & 1 \\ 2 & −1 & −1 & 1 \end{matrix} | = 0 ?

22. Für welche Werte x, y und z gilt die Matrizengleichung

3 [ \begin{matrix}x & −1 \\ 4 & 3 \end{matrix} ] − 2 [ \begin{matrix}5 & −2 \\ −1 & y \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}−4 & z \\ 14 & 1 \end{matrix} ] ?

23. Gegeben sind die Matrizen

A = [ \begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ −3 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 3 \end{matrix} ] ; B = [ \begin{matrix}6 & 0 \\ 1 & −2 \\ 0 & 3 \end{matrix} ] ; C = [ \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ −3 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & −2 \end{matrix} ]

Berechnen Sie, sofern die Ausdrücke erklärt sind:

A + B ; A + 2C ; A · B ; B · A ; C · A ; (A + C) · B !

24. Bilden Sie die Produkte AB und BA , wenn

A = [ \begin{matrix}2 & −1 & 3 \\ 4 & −2 & 6 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}2 & 1 \\ 4 & 5 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] gegeben sind !

25. Gegeben sind die Matrizen

A = [ \begin{matrix}4 & 0 \\ 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}6 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] .

Bestätigen Sie die Gültigkeit der Regel

(A · B)^{T} = B^{T} · A^{T}

26. Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal?

a) [ \begin{matrix}−0, 8 & 0, 6 \\ 0, 6 & 0, 8 \end{matrix} ] b) [ \begin{matrix}−1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ]

c) [ \begin{matrix}3 & −1 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ] d) [ \begin{matrix}cos α & − sin α & 0 \\ sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

27. Bestimmen Sie, falls sie existieren, die inversen Matrizen zu

a) A = [ \begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix} ] b) B = [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ]

c) C = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 3 & 8 \end{matrix} ] d) D = [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] !

28. Für welche Matrizen X und Y gilt AX = B bzw. Y A = B, wenn

A = [ \begin{matrix}2 & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 5 \end{matrix} ] ?

29. Schreiben Sie das System

\begin{aligned}b_{1} & = & x_{1} & − & 2x_{2} & + & x_{3} \\ b_{2} & = & 2x_{1} & − & x_{2} & + & x_{3} \\ b_{3} & = & 3x_{1} & − & x_{2} & + & x_{3} \end{aligned}

als Matrizengleichung und ermitteln Sie den Lösungsvektor

[ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ] !

30. Gegeben ist die Matrix A = [ \begin{matrix}2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & a \\ 6 & a & −27 \end{matrix} ]

a) Für welche a existiert A^{−1} nicht ?

b) Ermitteln Sie für a = 0 die inverse Matrix !

31. Man bestimme den Rang folgender Matrizen:

a) A = [ \begin{matrix}2 & −6 & 12 & 18 \\ 5 & −17 & 26 & 39 \\ 1 & −5 & 2 & 3 \end{matrix} ] b) B = [ \begin{matrix}2 & 1 & 4 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & −5 \\ 1 & −1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{matrix} ]

32. Wie ist a zu wählen, damit die Matrix

A = [ \begin{matrix}a & 1 & −1 \\ 1 & a & 1 \\ −1 & 1 & a \end{matrix} ] den Rang 2 hat?

33. Bestimmen Sie die Matrix X aus den Gleichungen: a) AXB = C b) ABCX = D

c) AX + EX = A d) XA − XC = B + 4X

e) 2(XA + XB) = 2X + C

34. Lösen Sie die Matrizengleichungen:

a) AX − B = BX + 2X mit A = [ \begin{matrix}4 & 3 \\ 3 & 7 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}−1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ] ;

b) 3X − XC = X(C − D) + 2(D + X)

für C = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} ] und D = [ \begin{matrix}4 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & −1 \\ 8 & 5 & 3 \end{matrix} ] !

35. Bestimmen Sie, falls sie existieren, die inversen Matrizen zu

A = [ \begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] , C = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 3 & 3 & 8 \end{matrix} ] , D = [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] !