\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%\input amssym12
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph
\begin{center}
\bf{ "Ubungsaufgaben zu Mathematik I f"ur Ingenieure, WS 2006/07}\\ 
\bf{Serie 2, Determinanten, Matrizen}
\end{center}
Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage:\\
 http://www.math.uni-magdeburg.de/$\sim$christop/ \quad unter Lehre.\\[1ex]
%
\begin{enumerate}  % \displaystyle 
\item[15.] Berechnen Sie:\\[2ex]
a) $ \left| \begin{array}{rr} 2 & 3\\
-5 &4 \end{array} \right| \quad \quad \mbox{b)} \quad
\left| \begin{array}{rr} 3 & 2\\
4 & -5 \end{array} \right| \quad \quad \mbox{c)} \quad \left|
\begin{array}{lr} e^x & e^{-2x}\\
e^x & -2e^{-2x} \end{array} \right| $\\[2ex]
d) $ \left| \begin{array}{rrr} 4 & 2 & 1\\
-2 & 3 & 2\\
3 & -2 & 3 \end{array} \right| \quad \quad \mbox{e)} \quad 
\left| \begin{array}{rrr} 2a & 2a & -2a\\
a & -a & a\\
3a & -3a & -3a \end{array} \right| \quad \quad \mbox{f)} \quad 
\left| \begin{array}{ccc}
a & a+1 & a-1\\
a+1 & a-1 & a\\
a-1 & a & a+1
\end{array} \right| \quad ! $
%
\item[16.]
F"ur welche reellen Werte von $x$ gilt:\\[2ex]
a) $ \left| \begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2\\
2+2x & 0 & 4 \\
1 & 2-x & 0 \end{array} \right| = 0 \quad \quad \mbox{b)} \quad 
\left| \begin{array}{ccc}
-1 & -1 & x-1\\
0 & 1-x & -1\\
1-x & 0 & -3 \end{array} \right| = 0 $\\[2ex]
c) $ \left| \begin{array}{ccr} x+1 & 1 & 2\\
2 & x & -1\\
3 & 1 & x \end{array} \right| = 0 \quad ? $
%
\item[17.]
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen:\\[2ex]
$ a) \quad f(x) = \left| \begin{array}{rc}
\ln x & \ln (x+2)\\
-1 & 2  \end{array} \right| \quad  b) \quad f(x) = \left| \begin{array}{ccl}
3 & 1 & 2\\
2+2e^x & 0 & 4\\
1 & 2-e^x & 0 \end{array} \right| \quad !$
%
\item[18.]
Berechnen Sie m"oglichst geschickt folgende Determinanten:\\[2ex]
$
\mbox{a)} \; \left| \begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{array}  \right| \quad \quad \mbox{b)} \; 
\left| \begin{array}{rrrr}
3 & -4 & 5 & -10\\
5 & 2 & 1 & 7\\
-2 & 1 & 6 & 3\\
1 & -2 & 4 & -4
\end{array}  \right|%\\[1.5ex]
\quad \mbox{c)} \; 
\left| \begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & 2 & 4\\
-1 & 1 & 4 & 3 & 1\\
2 & -4 & 1 & 9 & -2\\
4 & 0 & 3 & 1 & 3\\
0 & 2 & 3 & 5 & 4 \end{array} \right| \quad !
$
%
\item[19.]
Welche Kurven werden durch folgende Gleichungen erfasst?\\[2ex]
$
\mbox{a)} \quad \left| \begin{array}{rrr} 
x & y & 1\\
-1 & 3 & 1\\
4 & -2 & 1 \end{array} \right| = 0 \quad \quad \mbox{b)} \quad 
\left| \begin{array}{crrr}
x^2 + y^2 & x & y & 1\\
13 & -2 & 3 & 1\\
53 & 2 & 7 & 1\\
5 & 2 & -1 & 1 \end{array} \right| = 0 
$
%
\item[20.]
Stellen Sie mit Hilfe einer Determinante die Gleichung der 
Geraden auf, die durch die Punkte $P_1 (-2; 3)$ und $P_2 (1; 5)$ 
geht!
%
\item[21.]
Welche geometrische Deutung besitzt die Gleichung 
$$ \left| \begin{array}{crrr}
x^2 + y^2  & x & y & 1\\
26  & 5  & - 1 & 1\\
50 & - 1 & 7 & 1\\
2 & - 1 & - 1 & 1 \end{array} \right| = 0 \quad ? $$
%
\item[22.]
F"ur welche Werte $x,y$ und $z$ gilt die Matrizengleichung
$$ 3 \left[ \begin{array}{rr} x & - 1\\
4 & 3 \end{array} \right] - 2 
\left[ \begin{array}{rr} 
 5 & - 2\\
- 1 & y \end{array} \right] = 
\left[ \begin{array}{rr} 
- 4 & z\\
 14 & 1 \end{array} \right] \quad ?$$
%
\item[23.]
Gegeben sind die Matrizen\\[2ex]
$ A = \left[ \begin{array}{rrr}
 2  & 0 & 4\\
- 3 & 1 & 0\\
 0 &  - 2  & 3  \end{array} \right] \quad ; \quad B = 
\left[ \begin{array}{rr}
6 &  0\\
1 & - 2\\
0  & 3 \end{array} \right] \quad ; \quad C = 
\left[ \begin{array}{rrr}
  2 & 1  & 3\\
- 3 & 0  & 4\\
  0 & 2 & - 2 \end{array} \right] $\\[2ex]
Berechnen Sie, sofern die Ausdr"ucke erkl"art sind:\\[2ex]
$ A + B \quad ; \quad A + 2C \quad ; \quad A \cdot B \quad ; \quad 
B \cdot A \quad ; \quad C \cdot A \quad ; \quad (A + C) \cdot B 
\quad !$
%
\item[24.]
Bilden Sie die Produkte $AB$ und $BA$ , wenn \\[2ex]
$ A = \left[ \begin{array}{rrr}
2 & - 1 & 3\\
4 & - 2 & 6 \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad B = 
\left[ \begin{array}{ll} 
2 & 1\\
4 & 5\\
0 & 1 \end{array} \right] $ gegeben sind !
\item[25.]
Gegeben sind die Matrizen 
$$ A = \left[ \begin{array}{ll} 
4 & 0\\
1 & 3\\
0 & 1 \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad  B = \left[ 
\begin{array}{lll}
6 & 0 & 5\\
0 & 1 & 1  \end{array} \right] \quad .$$
Best"atigen Sie die G"ultigkeit der Regel
$$ (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T \quad $$
%
\item[26.]
Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal?\\[2ex]
$ a) \quad \left[  \begin{array}{rr}
-0,8 & 0,6\\
0,6 & 0,8  \end{array} \right]  \quad \quad b) \quad \left[  
\begin{array}{rr}
-1 & 2\\
2 & 1  \end{array} \right]$\\[2ex]
$ c) \quad \left[  \begin{array}{rrr}
3 & -1 & 0\\
1 & 1 & 4\\
0 & 0 & 2  \end{array} \right] \quad \quad d) \quad \left[ \begin{array}{rrr}
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\
0 & 0 & 1   \end{array} \right] $
\item[27.]
Bestimmen Sie, falls sie existieren, die inversen Matrizen 
zu \\[2ex]
$ a) \quad A = \left[ \begin{array}{ll}
2 & 3\\
1 & 5 \end{array} \right] \quad \quad \quad \quad b) \quad B = \left[ 
\begin{array}{lll}
1 & 2 & 4\\
1 & 3 & 2\\
1 & 1 & 2  \end{array} \right] $\\[2ex]
$ c) \quad C = \left[ \begin{array}{lll} 
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 5\\
3 & 3 & 8 \end{array} \right] \quad \quad \; d) \quad D = \left[ 
\begin{array}{llll}
1 & 2 & 4 & 8\\
0 & 1 & 2 & 4\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1  \end{array} \right] \quad !$
%
\item[28.]
F"ur welche Matrizen $X$ und $Y$ gilt
$ AX = B \quad \mbox{bzw.} \quad  YA = B$,  wenn
$$ A = \left[ \begin{array}{ll}
2 & 3\\
3 & 4  \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad B = \left[ 
\begin{array}{ll}
1 & 2\\
3 & 5  \end{array} \right] \quad ?$$
%
\item[29.]
Schreiben Sie das System
$$ \begin{array}[t]{rrrrrrr}
b_1 & = & x_1 & - & 2x_2 & + & x_3\\
b_2 & = & 2x_1 & - & x_2 & + & x_3\\
b_3 & = & 3x_1 & - & x_2 & + & x_3  
\end{array}$$
als Matrizengleichung und ermitteln Sie den L"osungsvektor
$$ \left[ \begin{array}{l}
x_1\\
x_2\\
x_3 \end{array} \right] \quad ! $$
\item[30.]
Gegeben ist die Matrix 
$
A = \left[ \begin{array}{llc}
2 & 3 & 1\\
4 & 5 & a\\
6 & a & - 27 \end{array} \right]
$ 
\begin{enumerate}
\item[a)] F"ur welche $a$ existiert $A^{-1}$ nicht ?
\item[b)] Ermitteln Sie f"ur $a = 0$ die inverse Matrix !
\end{enumerate}
\item[31.]
Man bestimme den Rang folgender Matrizen:\\[2ex]
$ a) \quad A = \left[ \begin{array}{rlrr}
2 & -6 & 12 & 18\\
5 & -17 & 26 & 39\\
1 & -5 & 2 & 3  \end{array} \right] \quad \quad b) \quad  B = \left[ 
\begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 4 & 3 & 1\\
1 & 2 & 2 & 0 & -5\\
1 & -1 & 2 & 3 & 2\\
1 & 1 & 2 & 1 & 0  \end{array} \right]$
\item[32.]
Wie ist $a$ zu w"ahlen, damit die Matrix\\[2ex]
$ A = \left[ \begin{array}{rrr} a & 1 & -1\\
1 & a & 1\\
-1 & 1 & a  \end{array} \right] $ den Rang 2 hat?
\item[33.]
Bestimmen Sie die Matrix $X$ aus den Gleichungen:
\begin{tabbing}
a) $AXB = C$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \= b) 
$ABCX = D$\\[1ex]
c) $AX + EX = A$ \> d) $XA - XC = B + 4X$\\[1ex]
e) $2(XA + XB) = 2X + C$ 
\end{tabbing}
%
\item[34.]
L"osen Sie die Matrizengleichungen:\\[2ex]
$ a) \quad AX - B = BX + 2X \quad \mbox{mit} \quad A = \left[
\begin{array}{ll}
4 & 3\\
3 & 7 \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad B = \left[ 
\begin{array}{rr}
-1 & 1\\
2 & 1   \end{array} \right] \quad ;$\\[2ex]
$ b) \quad 3X - XC = X(C-D) + 2 (D + X)$
$$ \mbox{f"ur} \quad C = \left[ \begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
2 & 1 &  2  \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad D = \left[ 
\begin{array}{rrr} 
4 & 3 & 1\\
3 & 2 & -1\\
8 & 5 & 3 \end{array} \right] \quad !$$ 
\item[35.]
Bestimmen Sie, falls sie existieren, die inversen Matrizen 
zu \\
$\hspace{-1cm}  A = \left[ \begin{array}{ll}
2 & 3\\
1 & 5 \end{array} \right]\,, \quad   B = \left[ 
\begin{array}{lll}
1 & 2 & 4\\
1 & 3 & 2\\
1 & 1 & 2  \end{array} \right]\,, \quad
  C = \left[ \begin{array}{lll} 
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 5\\
3 & 3 & 8 \end{array} \right] \,, \quad D = \left[ 
\begin{array}{llll}
1 & 2 & 4 & 8\\
0 & 1 & 2 & 4\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1  \end{array} \right] \quad !$



\end{enumerate}


\end{document}
