\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{emlines2}
\usepackage{german,a4}
%\input{btcomart}
%\input amssym12.def
%\input amssym12
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph
\begin{center}
\bf{ "Ubungsaufgaben zu Mathematik I f"ur Ingenieure, WS 2006/07}\\ 
\bf{Serie 3, Gleichungssysteme, Gau"sscher Algorithmus, Eigenwerte, Eigenvektoren, Vektorrechnung}
\end{center}
Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage:\\
 http://www.math.uni-magdeburg.de/$\sim$christop/ \quad unter Lehre.\\[1ex]
  % \displaystyle 
Hinweis: Mit {\bf Wichtig!}  habe ich die Aufgaben gekennzeichnet, die unbedingt zu "uben sind, die anderen sind zum selbst"andigen "Uben!
\begin{enumerate}
\item[36.] (Wichtig!)
L"osen Sie das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{array}{rrlrrrr} 9x_1 & + & 8x_2 & + & x_3 & = & -2\\ 
3x_1 & + & 4x_2 & + & x_3 & = & 2\\
6x_1 & - & 4x_2 & + & 3x_3 & = & 1 \end{array} $$
a) mit Hilfe einer inversen Matrix ;\\
b) mit Hilfe der Cramerschen Regel;\\
c) mit Hilfe des Gau"sschen Algorithmus! 
\item[37.](Wichtig a), c) und e)!)
L"osen Sie mit Hilfe des Gau"s-Algorithmus folgende 
Gleichungssysteme. Geben Sie jeweils den Rang der Koeffizientenmatriz 
und der erweiterten Koeffizientenmatriz an:\\[1ex]
$\hspace{-1cm}
\begin{array}{rrrrrrrrrrr}\mbox{a)}
&x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & + & 4x_4 & = & -3\\
&2x_1 & + & 3x_2 & + & 11x_3 & + & 5x_4 & = & 2\\
&2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & + & 2x_4 & = &-3\\
&x_1 & + & x_2 & + & 5x_3 & + & 2x_4 & = & 1
\end{array} \quad  \begin{array}{rrrrrrrrrr}\mbox{b)} 
&x & + & 2y & + & 3z & = & -4\\
&5x & - & y & + & z & = & 0\\
&7x & + & 3y & + & 7z & = & -8\\
&2x & + & 3y & - & z & = & 11
\end{array} \\[2ex]
 \quad \begin{array}{rrrrrrrrrr}\mbox{c)}
&x_1 & + & 5x_2 & + & 2x_3 & = & 3\\
&2x_1 & - & 2x_2 & + & 4x_3 & = & 5\\
&x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & 1  \end{array}  \quad 
\begin{array}{rrrrrrrr} \mbox{d)}& 7x_1 & + & 8x_2 & + & 5x_3 & = & 3\\
&3x_1 & - & 3x_2 & + & 2x_3 & = & 1\\
&18x_1 & + & 21x_2 & + & 13x_3 & = & 8 \end{array} \\[2ex]
%
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
\mbox{e)} & x_1 & - & 2x_2 & - & 3x_3 & & & = & -7\\
&           2x_1 & - & x_2 & + & 2x_3 & + & 7x_4 & = & -3 \\
& -2x_1 & + & x_2 & + & 3x_3 & + & 3x_4 & = & 8\\
& x_1 & + & 4x_2 & + & 5x_3 & - & 2x_4 & = & 7
\end{array}\\[2ex]
%
\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}
\mbox{f)} & -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & & &  -& x_5 & = & 0\\
& x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & + & 2x_4 & - & x_5 & = & 2\\
& & & 3x_2 & - & x_3 & - & 5x_4 & - & 7x_5 & = & 9\\
& 3x_1 & - & 3x_2 & - & 5x_3 & + & 2x_4 & + & 5x_5 & = & 2 
\end{array}$

\newpage
\item[38.] (Wichtig!)
Gegeben ist das Gleichungssystem\\[1ex]
$\hspace{-1cm}
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
x_1 & -& 2x_2 & + & 3x_3 & + & 4 & = & 0\\
2x_1 & + & x_2 & + & x_3 & -& 2 & = & 0\\
x_1 & + & ax_2 & + & 2x_3 & + & b & = & 0
\end{array}\,\,
%
\begin{array}{l} 
\mbox{F"ur welche Werte $a$ und $b$ besitzt das System}\\ 
\mbox{$\alpha $)
genau eine L"osung,}\\ 
\mbox{$\beta $) keine L"osung und $\gamma $) unendlich viele L"osungen?}\\
\mbox{L"osen Sie das System f"ur $a=1$ und $b=4$.} \end{array}$
\item[39.]
F"ur welche Werte von $a$ besitzt das Gleichungssystem\\[1ex]
$
\begin{array}{crcrr}
(2+a^2) x & - & 3ay & = & 0\\
ax & +   & (2-a^2)y  & = & 0
\end{array}
$\\[1ex]
au"ser der trivialen L"osung $x = y = 0$ noch andere L"osungen? Geben Sie dann
alle L"osungen an!
%
\item[40.] (Wichtig!)
L"osen Sie die vier Gleichungssysteme der Form $A\, {\vec x}_i = {\vec b}_i$,\,  $i = 1, 
\ldots, 4,$ gleichzeitig mit Hilfe des vollst"andigen Gau"s-Algorithmus. Nachdem Sie 
unterhalb der Hauptdiagonale Nullen erzeugt haben, m"ussen Sie auch Nullen oberhalb 
der Hauptdiagonale erzeugen. Wenn Sie richtig gerechnet haben, ergibt sich auf 
Grund der besonderen Wahl der Vektoren $b_1,...,b_4$ die Inverse der Matrix $A$.\\[1ex]
$\hspace{-1.5cm}
A = \left[ \begin{array}{rrrr} 
1 & 2 & -1 & 1\\
2 & 5 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 6 & -5\\
-2 & -1& 10 & -6 
\end{array} \right]
 ; \; b_1 \!=\! \left[ \begin{array}{r}
1 \\
0\\
0\\
0 \end{array} \right]  ; \, b_2 \!=\! \left[ \begin{array}{r}
0 \\
1 \\
0\\
0 \end{array} \right]  ;  b_3 \!=\! \left[ \begin{array}{r} 0\\
0\\
1\\
0 \end{array} \right]  ; 
b_4 \!=\! \left[ \begin{array}{r}
0\\
0\\
0\\
1 \end{array} \right]. 
$
%
\item[41.] (Wichtig a)!)
Von folgenden Gleichungssystemen bestimme man 
\begin{enumerate}
\item[($\alpha$)] die allgemeine L"osung des zugeh"origen homogenen Systems, 
\item[($\beta$)] die allgemeine L"osung des inhomogenen Systems.
\end{enumerate}
\hspace{-1cm}$
\mbox{a)} \,
\left[
\begin{array}{rrrr}
-2 &  1 & 3 & -1\\
4 &  -2 & -1 & 2\\
-2 & 1 & 8 & -1\\
-10 & 5 & 25 & -5
\end{array}
\right] \; \cdot \; \left[ \begin{array}{r}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{array} \right] \; = \; \left[ \begin{array}{r}
2 \\
-9\\
-3\\
0
\end{array} \right],\, 
\mbox{b)} \, \begin{array}{rrrrrrr}
x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 4\\
x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & 13\\
2x_1 & + & 4x_2 & + & 2x_3 & = & 26\\
4x_1 & + & 5x_2 & + & 4x_3 & = & 43
\end{array}$

%
\item[42.] (Wichtig b)!)
F"ur welche Werte $\lambda$ besitzen die  homogenen 
linearen Gleichungs\-systeme nichttriviale L"osungen? Geben Sie alle 
nichttrivialen L"osungen an!\\[1ex]
$ \begin{array}{rrrrrrrr}
a) & 2x_1 & - & x_2 & + & 4x_3 & = & 0\\
& x_1 & + & 3x_2 & - & x_3 & = & 0\\
& 7x_1 & + & 7x_2 & + & (4- \lambda )x_3 & = & 0 \end{array} \quad \quad 
\begin{array}{rrrrrrrr}
b) & x & + & y & + & 2z & = & \lambda x\\
& 2x & + & 2y & + & 2z & = & \lambda y\\
& 2x & + & 2y & + & 5z & = & \lambda z \end{array} $
%
\item[43.] (Wichtig!)
 L"osen Sie die Eigenwertaufgabe $Ax = \lambda x$. Geben sind 
jeweils alle Eigenvektoren an.\\[1ex]
$ \mbox{a)} \quad  A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 1\\
4 & -1 \end{array} \right] \quad \quad \mbox{b)} \quad A = \left[
\begin{array}{rrr} 
1 & 0 & 0\\
3 & 3 & -4\\
-2 & 1 & -2 \end{array} \right] $
%
\newpage
\item[44.] (Selbststudium!)
Bestimmen Sie f"ur die Matrix $A$ die aus den Eigenvektoren von $A$ bestehende Matrix $C$
mit der Eigenschaft, dass $C^{-1}\,A\,C =D$ ist, wobei $D$ die Diagonalmatrix aus den 
Eigenwerten von $A$ ist.\\
$$A = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\\
2 & 2 & 2\\
2 & 2 & 5 \end{array} \right] $$
%
\item[45.] (Selbststudium!)
Gegeben sind die Matrizen
$$ A = \left[ \begin{array}{ccc}
5 & 7 & 6\\
7 & 10 & 8\\
6 & 8 & 10 \end{array} \right] \quad ; \quad b = \left[ \begin{array}{c}
18\\
25\\
24 \end{array} \right] \quad ; \quad c = \left[ \begin{array}{c}
18,1\\
24,9\\
23,9 \end{array} \right] $$
a) Bestimmen Sie die Matrix 
$A^{-1} $ !\\[1ex]
b) Berechnen Sie die Kondition des Gleichungssystems $Ax = b$ !\\[1ex]
c) Das System $Ax = b$ hat die L"osung $x = [1 \quad 1 \quad 1]^T $. Welche
L"osung besitzt das System $Ax = c$ ?
%
\item[46.]
Gegeben sind die Vektoren\\[1ex]
$\vec{a} = 2 \vec{e}_1 + \vec{e}_2 + 4 \vec{e}_3 = [2\,,\,1\,,\,4]^T$ und $ \vec{b} = \vec{e}_1 - 2 \vec{e}_2 + 3 \vec{e}_3 =
[1\,,\,-2\,,\,3 ]^T$.\\[1ex]
Berechnen Sie: $| \vec{a}| \, ; \quad  \vec{a} + 2 \vec{b} \, ; \quad 
3 \vec{a} - 2 \vec{b} \, ; \quad 
\vec{a} \cdot \vec{b}$ !
\item[47.] (Wichtig!)
Gegeben ist ein Viereck mit den Ecken\\
$A(-2; -2) \, , \, 
B(2; -1) \, , \, C(2; 2) \, , \; D(-2; 1).$\\
Man bestimme: die "`Seitenvektoren"' $\vec{AB} \, , \, \vec{BC} \, , \, 
\vec{CD} \, , \, \vec{DA} ; $ die "`Diagonalvektoren"' $\vec{AC} \, , \, 
\vec{BD}$ und die L"ange dieser Vektoren; die Winkel $\alpha, \beta, \gamma, 
\delta $.
\item[48.]
Anfangspunkte und Endpunkte zweier Vektoren $\vec{a}$ und 
$\vec{b}$ seien durch Strecken miteinander verbunden. Die Halbierungspunkte
der beiden Verbindungsstrecken seien Anfangs- und Endpunkt eines Vektors
$\vec{c}$. Es soll gezeigt werden, da"s der Vektor $\vec{c}$ derselbe bleibt, 
wenn die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ unabh"angig voneinander parallel
zu sich verschoben werden.
\item[49.] Ein Vektor bildet mit der x-Achse und der z-Achse Winkel von 
$ 40^\circ $ und $ 80^\circ . $ Ermitteln Sie seinen Winkel mit der 
y-Achse!
\item[50.] (Wichtig)
Man beweise mit Hilfe von Vektoren! 
\begin{enumerate}
\item[a)] Wenn in einem Parallelogramm die Diagonalen aufeinander 
senkrecht stehen, dann ist es ein Rhombus. 
\item[b)] Satz des Thales: Der Umfangswinkel "uber dem Durchmesser eines 
Kreises ist ein rechter Winkel.
\end{enumerate}
\item[51.] Gegeben sind drei aufeinanderfolgende Eckpunkte eines 
Parallelogramms: $ A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2)$.\quad
Bestimmen Sie:
\begin{enumerate}
\item[a)] den vierten Eckpunkt,
\item[b)]je einen Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden!
\end{enumerate}
\item[52.] (Wichtig!) 
Man zerlege den Vektor $\vec{c} = - \vec{e_1} + 8 \vec{e_2}$ 
in Komponenten in Richtung der Vektoren $\vec{a} = \vec{e_1} + 2 \vec{e_2}$ 
und $\vec{b} = - 2 \vec{e_1} + \vec{e_2}$.
\item[53.] (Wichtig!) 
a) Zeigen Sie die lineare Unabh"angigkeit von
$$ \vec{x_1} = \left[ \begin{array}{c}
2\\
3\\
1 \end{array} \right] \quad ; \quad \vec{x_2} = \left[ \begin{array}{c}
4\\
1\\
3 \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad  \vec{x_3} = \left[ \begin{array}{r}
1\\
-1\\
2 \end{array} \right] \quad !$$
b) Stellen Sie $\vec{y} = \left[ \begin{array}{c}
5\\
7\\
4 \end{array} \right] $ als Linearkombination von $\vec{x_1} ; 
\vec{x_2} $ 
und $\vec{x_3}$ dar !
%
\item[54.]
Sind die Vektoren\\[3ex]
$ \left[ \begin{array}{c}
2\\
4\\
1\\
3 \end{array} \right] \quad ; \quad \left[ \begin{array}{r}
-4\\
1\\
-1\\
1 \end{array} \right] \quad ; \quad \left[ \begin{array}{r}
3\\
-3\\
5\\
-2 \end{array} \right] \quad ; \quad \left[ \begin{array}{r}
-4\\
1\\
8\\
2 \end{array} \right] $ linear unabh"angig ?
\item[55.] (Wichtig!) 
Zeigen Sie, dass die Vektoren $\vec{a} = \vec{e_1} + \vec{e}_2 \; ; 
\; \vec{b} = \vec{e}_3 $ und $\vec{c} = \vec{e}_1 + \vec{e}_3$ eine Basis
bilden. Stellen Sie den Vektor $\vec{p} = 5 \vec{e}_1  + \vec{e}_2 + 0,5 
\vec{e}_3$ bzgl. der Basis $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ dar.
\item[56.]
Zerlegen Sie den Vektor $ \vec{F} = (7; -7; 12) $ in drei Komponenten, 
die parallel zu $\vec{a} = (1; -2; 3) \, , 
\; \vec{b} = (2; 3; 1) $ und
$ \vec{c} = (3; 1; 2) $ verlaufen !
\item[57.] (Wichtig!) 
Eine Kraft $\vec{F} = [8, 11, -5]^T $ ist in Komponenten parallel
und senkrecht zur Richtung $\vec{a} = [2, 1, -3]^T$ zu zerlegen.
\item[58.] 
Gegeben sind die Vektoren \\[1ex]
$\vec{a} = \vec{e_1} - \vec{2e_2} + 
\vec{e_3} \, ; \, \vec{b} = \vec{e_1} + \vec{e_3}$ und $\vec{c} = \vec{e_1} - 
\vec{e_3}$. \\[1ex]
Man berechne $\vec{a} \cdot \vec{b} \, ; \, \vec{b} \cdot \vec{c} \, ; \, 
\vec{a} \times \vec{c} \, ; \, |\vec{a} \times \vec{c}| \, ; \, 
(\vec{a} \times \vec{b}) 
\cdot \vec{c} \, ; \,  
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \, ; \, (\vec{a} + 
\vec{c}) \times (\vec{b} + \vec{c}) .$
\item[59.] (Wichtig!) 
Wie gro"s ist der Fl"acheninhalt des Dreiecks mit den 
Eckpunkten\\[1ex]
$P_1 (2; 9; 6) , \quad  P_2 (3; 2; 1) , \quad  P_3 (4; 3; 2)$ ?
\item[60.] 
Vereinfachen Sie: \\[1ex]
a) $ (2 \vec{a} + \vec{b}) \times ( \vec{a} + 2 \vec{b} )$ ;\quad
b) $ (\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}) \cdot [ ( \vec{a} - \vec{b}) \times 
( \vec{a} - \vec{b} - \vec{c})]$ !


\end{enumerate}


\end{document}
