Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Übungsaufgaben zu Mathematik I für Ingenieure, WS 2006/07 Serie 4, Vektorrechnung, Geraden, Ebenen und Kurven im Raum

Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage: http://www.math.uni-magdeburg.de/∼christop/ unter Lehre.

61. Zu den Vektoren a⃗ = [1, −2, 3] und b⃗ = [2, 3, 1] bestimme man zwei Vektoren x⃗ und y⃗, für die gilt: x⃗||b⃗, y⃗ ⊥ b⃗ und x⃗ + y⃗ = a⃗.

62. Gegeben sind die Vektoren

u⃗ = [1, 1, 1] , v⃗ = [2, −1, λ] und w⃗ = [μ, 3, −2] .

Ermitteln Sie:

a) λ > 0 so, dass das von u⃗ und v⃗ aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt \sqrt{54} besitzt,

b) μ so, dass w⃗ ⊥ (u⃗ × v⃗),

c) einen Vektor, der den <)(u⃗, v⃗) halbiert.

63. Für das Gleichungssystem mit drei Unbekannten a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} bzw. in Vektorschreibweise \overline{a}x+\overline{b}y+\overline{c}z = \overline{d} ist mit Hilfe der Vektorrechnung die Cramersche Regel herzuleiten.

64. Liegen die vier Punkte A(2, −1, −2), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0), D(5, 0, −6) in einer Ebene ?

65. Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte P_{1}(2, 3, 0) und P_{2}(4, 0, 3) geht ! Wo durchstößt diese Gerade die yz-Ebene ? Welchen Abstand hat der Nullpunkt von dieser Geraden ?

66. Man bestimme a und b so, dass der Punkt P_{1}(5, 3, 1) auf der Geraden r⃗ = (6 + t)e⃗_{1} + (a + 2t)e⃗_{2} + (4 + bt)e⃗_{3}, −∞ < t < ∞ liegt.

67. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel der Geraden

r⃗_{1} = [−7, −8, −9]^{T} + t_{1}[2, 3, 2]^{T}

r⃗_{2} = [−4, 4, 24]^{T} + t_{2}[−1, 0, 5]^{T} !

68. Welche Ebene steht auf dem Vektor a⃗ = (1, 2, 1) senkrecht und geht durch den Punkt P_{1}(2, 4, 3) ?

69. Die Ebene E_{1} wird durch die Punkte P_{1}(0, 4, 2), P_{2}(−1, 0, −8), P_{3}(2, 3, −5) bestimmt.

a) Bestimmen Sie die Gleichung von E_{1} in Parameterform und in kartesischer Form!

b) Welchen Wert muss x_{4} annehmen, damit der Punkt P_{4}(x_{4}, 2, −2) in E_{1} liegt?

c) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die auf E_{1} senkrecht steht und durch P_{4} geht!

d) Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E_{1} und der Ebene E_{2} : x + 3y − 2z + 2 = 0 !

70. Die Ebene E_{1} hat die Gleichung 3x − 2y + 5z = 67.

a) Von dem Punkt P_{0}(5, 2, −4) wird auf die Ebene E_{1} das Lot gefällt. Welche Koordinaten hat der Fußpunkt des Lotes? b) Welchen Abstand hat der Punkt P_{0} von der Ebene E_{1} ?

c) Welche Koordinaten hat der Spiegelpunkt P′_{0} des Punktes P_{0} bezüglich der Ebene E_{1} ?

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden der Ebene E_{1} mit der Ebene E_{2} , wenn E_{2} die Gleichung x + 2y + 2z = 1 besitzt!

71. Zeigen Sie, dass es eine Gerade durch den Ursprung gibt, die zu den drei Ebenen 2x − y − z = 7 , 6x + y + 5z + 3 = 0, 2x + 2y + 5z = 4 parallel verläuft. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden !

72. Von der Ebene E ist bekannt, dass sie die Punkte P_{1}(1, 2, 3) und P_{2}(3, 2, 1) enthält und dass sie senkrecht zur Ebene 4x−y+2z = 7 verläuft. Ermitteln Sie die Gleichung von E!

73. P_{1}(3, 2, 2) und P′_{1}(1, 6, 6) seien Spiegelpunkte bezüglich einer Ebene E. Man bestimme deren Gleichung.

74. Skizzieren Sie die Graphen folgender Vektorfunktionen in einem rechtwinklig kartesischen Koordinatensystem!

(a) x⃗(t) = (1 + t)e⃗_{1} + (2 + t)e⃗_{2} , 0 ≤ t < ∞ ;

(b) x⃗(t) = (x(t), y(t)) = (t, 4t^{2}) ; 0 ≤ t < ∞ ;

(c) x⃗(t) = (3 + 2 cos t, 5 + 2 sin t) , 0 ≤ t < 2π ;

(d) x⃗(t) = (cos t, sin t + cos^{2} t) , 0 ≤ t < 2π !

75. Welche Kurven werden durch folgende Parameterdarstellungen erfaßt?

(a) r⃗(t) = (2 + t, 3 + 2t, 4 + 3t) , 0 ≤ t ≤ 2 ;

(b) r⃗(t) = (3 cos t, 3 sin t, 0, 2t) , 0 ≤ t ≤ 2π .

76. φ und r seien die Polarkoordinaten eines Punktes im IR^{2}. Welche Kurven werden durch folgende Gleichungen erfaßt?

(a) r = 2 cos φ , 0 ≤ φ ≤ \frac{π}{2} , (b) r = 2φ , 0 ≤ φ ≤ 2π ,

(c) r = \frac{6}{sin φ} , 0 < φ < π .

77. Geben Sie folgende Kurven in Polarkoordinaten an!

(a) x^{2} + y^{2} = 9 (b) x^{2} + (y − 2)^{2} = 4

(c) y = x (d) y = 2x + 1

78. Gegeben sei die Gerade x = 4. Ein beliebiger Strahl 0A schneidet diese Gerade in A. Auf diesem Strahl wird ein Punkt P durch \overline{AP} = 2 Längeneinheiten bestimmt (siehe Skizze!). Welche Kurve beschreibt der Punkt P , wenn φ ∈ (−π / 2 , π / 2) variabel ist? Ermitteln Sie eine Parameterdarstellung der Kurve! Wählen Sie φ oder t als Parameter!

[figure: y; x; P; x = 4; t; •; •; A; φ; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

79. Man skizziere folgende in Polarkoordinaten gegebenen Mengen in einem kartesischen Koordinatensystem.

(a) B_{1} = {(r, φ) ∈ IR^{2} : 0 ≤ φ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ φ},

(b) B_{2} = \{(r, φ) ∈ IR^{2} : 2 < r < 4 , \frac{π}{4} < φ < \frac{3π}{4} \},

(c) B_{3} = \{(r, φ) ∈ IR^{2} : −\frac{π}{2} ≤ φ ≤ \frac{π}{2} , 0 ≤ r ≤ 2 cos φ\}.

80. Welche Menge B ∈ IR^{3} wird durch folgende Ungleichungen beschrieben?

(a) 3 ≤ x ≤ 4 und 1 ≤ y ≤ 2 und 0 ≤ z ≤ 2x;

(b) 2 ≤ r ≤ 4 und 0 ≤ φ < 2π und 0 ≤ Θ ≤ \frac{π}{4} (Kugelkoordinaten).

81. Berechnen Sie für die folgenden, in kartesischen Koordinaten gegebenen Punkte des IR^{3} die zugehörigen Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten!

(a) P_{1} = (1; 1; \sqrt{2}) (b) P_{2} = (1; 0; 1)

(c) P_{3} = (−4; 3; −5) (d) P_{3} = (−4; 0; 0)

82. Beschreiben Sie die Menge aller Punkte des IR^{3} , für die gilt: (a) x = 2 , (b) z = −2 , (c) x + y = 2 ,

(d) r = 4 und 0 ≤ φ ≤ π (Zylinderkoordinaten),

(e) r = 6 und φ = 0 (Kugelkoordinaten),

(f) r = 6 und 0 ≤ Θ ≤ \frac{π}{2} (Kugelkoordinaten),

(g) Θ = \frac{π}{4} (Kugelkoordinaten)!