\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph
\begin{center}
\bf{ "Ubungsaufgaben zu Mathematik I f"ur Ingenieure, WS 2006/07}\\ 
\bf{Serie 4, Vektorrechnung, Geraden, Ebenen und Kurven im Raum}
\end{center}
%
Die Aufgaben finden Sie auch auf meiner Homepage:\\
 http://www.math.uni-magdeburg.de/$\sim$christop/ \quad unter Lehre.
\begin{enumerate}  % \displaystyle 
\item[61.]
Zu den Vektoren $\vec{a} = [1, -2, 3]$ und $\vec{b} = [2, 3, 1]$ 
bestimme man zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$, f"ur die 
gilt: 
$\vec{x} || \vec{b} , \vec{y} \perp \vec{b}$ und 
$\vec{x} +\vec{y} = \vec{a} $.
\item[62.]
Gegeben sind die Vektoren
$$
\vec{u} = [1, 1, 1]\,,\quad \vec{v} = [2, -1, \lambda] \quad \mbox{und} \quad \vec{w} = 
[\mu, 3, -2] \quad .
$$
Ermitteln Sie:
\begin{enumerate}
\item[a)] $\lambda > 0 $ so, dass das von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ 
aufgespannte Parallelogramm den Fl"acheninhalt $\sqrt{54} $ besitzt, 
\item[b)] $\mu $ so, dass  
$\vec{w} \perp (\vec{u} \times \vec{v})$,
\item[c)] einen Vektor, der den $< \! \! \! ) ( \vec{u} , \vec{v} )$ 
halbiert.
\end{enumerate}
\item[63.]
F"ur das Gleichungssystem mit drei Unbekannten \\
$ a_1x + b_1y + c_1z = d_1\\
a_2x + b_2y + c_2z = d_2\\
a_3x + b_3y + c_3z = d_3\\ $
bzw. in Vektorschreibweise $ \overline{a}x + \overline{b}y + 
\overline{c}z = \overline{d} $ ist mit Hilfe der Vektorrechnung die 
Cramersche Regel herzuleiten.
\item[64.]
Liegen die vier Punkte\\
$ A(2, -1, -2) , \, B (1, 2, 1) , \, C (2, 3, 0) , \, D (5, 0, -6)$ 
in einer Ebene ?
\item[65.]
Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte
$P_1 (2, 3, 0)$ und $P_2 (4, 0, 3)$ geht !  Wo durchst"o"st diese Gerade die 
$yz$-Ebene ? Welchen Abstand hat der Nullpunkt von dieser Geraden ?
%
\item[66.]
Man bestimme $a$ und $b$ so, dass der Punkt $P_1 (5, 3, 1)$ auf
der Geraden \\
$\vec{r} = (6+t) \vec{e_1} + (a + 2t) \vec{e_2} + (4 + bt) \vec{e_3} , 
- \infty < t < \infty$ liegt.
\item[67.]
Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ und den Schnittwinkel der 
Geraden \\[1ex]
$ \vec{r_1} = [-7 , \quad -8  , \quad -9]^T \, + \, t_1 [2 , \quad 3 ,
\quad 2]^T$\\[1ex]
$ \vec{r_2} = [-4 , \quad 4 , \quad 24]^T \, + \, t_2 [-1 , \quad 0 ,
\quad 5]^T \quad !$
\item[68.]
Welche Ebene steht auf dem Vektor $\vec{a} = (1, 2, 1)$ senkrecht 
und geht durch den Punkt $P_1 (2, 4, 3)$ ?
\item[69.]
Die Ebene $E_1$ wird durch die Punkte $P_1 (0, 4, 2)$, $P_2 
(-1, 0, -8) $, $P_3 (2, 3, -5)$ bestimmt.\\[1ex]
a) Bestimmen Sie die Gleichung von $E_1$ in Parameterform und in kartesischer
Form!\\[1ex]
b) Welchen Wert muss $x_4$ annehmen, damit der Punkt $P_4 (x_4, 2, -2)$ in 
$E_1$ liegt?\\[1ex]
c) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die auf $E_1$ senkrecht steht und 
durch $P_4$ geht!\\[1ex]
d) Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene $E_1$ und der Ebene \\
$E_2 : x + 3y - 2z + 2 = 0$ !
\item[70.]
Die Ebene $E_1 $ hat die Gleichung $3x - 2y + 5z = 67$.\\
a) Von dem Punkt $P_0 (5, 2, -4)$ wird auf die Ebene $E_1$ das Lot gef"allt.\\
Welche Koordinaten hat der Fu"spunkt des Lotes?
b) Welchen Abstand hat der Punkt $P_0$ von der Ebene $E_1$ ?\\
c) Welche Koordinaten hat der Spiegelpunkt $P'_0 $ des Punktes $P_0$ 
bez"uglich der Ebene $E_1$ ?\\
d) Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden der Ebene $E_1$ mit der 
Ebene $E_2$ , wenn $E_2 $ die Gleichung $x + 2y + 2z = 1$ 
besitzt!
\item[71.]
Zeigen Sie, dass es eine Gerade durch den Ursprung gibt, die zu 
den drei Ebenen $ 2x - y - z = 7$ , $6x + y + 5z + 3 = 0$, $2x + 2y + 5z = 4$
parallel verl"auft.
Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden !
\item[72.]
Von der Ebene $E$ ist bekannt, dass sie die Punkte $P_1 (1, 2, 3)$ 
und $ P_2 (3, 2, 1)$ enth"alt und dass sie senkrecht zur Ebene $4x - y + 2z = 7$
verl"auft. Ermitteln Sie die Gleichung von  $E$!
\item[73.]
$P_1 (3, 2, 2)$ und $P'_1 (1, 6, 6)$ seien Spiegelpunkte bez"uglich
einer Ebene $E$. Man bestimme deren Gleichung.
\item[74.] Skizzieren Sie die Graphen folgender Vektorfunktionen in einem 
rechtwinklig kartesischen Koordinatensystem!\\[1ex]
(a) $ \vec x (t) = (1 + t) \vec e_1 + (2 + t) \vec e_2 \; , \; 0 \leq t < 
\infty $ ; \\[1ex]
(b) $ \vec x (t) = (x(t), y(t)) = (t, 4t^2)  \; ; \; 0 
\leq t < \infty $ ; \\[1ex]
(c) $ \vec x (t) = (3 + 2 \cos t, 5 + 2 \sin t) \; , \; 0 \leq t < 2 \pi 
$ ; \\[1ex]
(d) $ \vec x (t) = (\cos t, \sin t + \cos^2 t) \; , \; 0 \leq t < 2 \pi 
$ !
\item[75.] Welche Kurven werden durch folgende Parameterdarstellungen 
erfa"st?\\[1ex]
(a) $ \vec r (t) = (2 + t, 3 + 2 t, 4 + 3 t) \; , \; 0 \leq t \leq 2 $ ; 
\\[1ex]
(b) $ \vec r (t) = (3 \cos t, 3 \sin t, 0,2 t) \; , \; 0 \leq t \leq 2 
\pi \, .$ 
\item[76.] $ \varphi $ und $ r $ seien die Polarkoordinaten eines Punktes 
im $ I\!\!R^2 $. Welche Kurven werden durch folgende Gleichungen 
erfa"st?\\[1ex] 
(a) $ r = 2 \cos \varphi \, , \; 0 \leq \varphi \leq \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} 
 \, , \; $ 
(b) $ r = 2 \varphi \, , \; 0 \leq \varphi \leq 2 \pi  \, , \; $ \\[1ex]
(c) $ r = \frac{\displaystyle  6}{\displaystyle  \sin \varphi} \, , \;  0 < \varphi < 
\pi \, . $
\item[77.] Geben Sie folgende Kurven in Polarkoordinaten an! \\[1ex]
(a) $ x^2 + y^2 = 9 $ \qquad (b) $ x^2 + (y - 2)^2 = 4 $ \\[1ex]
(c) $ y = x $ \qquad (d) $ y = 2x + 1 $
\item[78.] Gegeben sei die Gerade $ x = 4 $. Ein beliebiger Strahl $ 0A $ 
schneidet diese Gerade in $ A $. Auf diesem Strahl wird ein Punkt $ P $ 
durch $ \overline{AP} = 2 $ L"angeneinheiten bestimmt (siehe Skizze!). 
Welche Kurve beschreibt der Punkt $ P $ , wenn $ \varphi  \in \left( -  \pi\,/\, 2 \, , \,  \pi\,/\,2 \right) $ variabel ist? 
  Ermitteln Sie eine 
Parameterdarstellung der Kurve! W"ahlen Sie $ \varphi $ oder $ t $ als 
Parameter!\\[1ex]
%
\begin{minipage}[t]{4.8cm} \small
\beginpicture 
\setcoordinatesystem units <7mm,7mm> point at  0 0
\setplotarea x from  -0.5  to 5  , y from -0.2 to 4.5
\axis bottom shiftedto y=0 /
\axis left shiftedto x=-0.3 /
\put{\vector(1,0){0.4}}[Bl] at 5  0
\put{\vector(0,1){0.4}}[Bl] at -0.3  4.5
\put{$y$} at 0 4.5
\put{$x$} at 5  -0.4
\put{$P$} at  5 3.4
\put{$x=4$}  at 3 -1  
\put{$t$} at -0.5  2.4
\put{$\bullet$} at 4.4  3.4  
\put{$\bullet$} at 3  2.4  
\put{$A$} at   2.6  2.7 
\put{$\varphi$} at 0.6    0.3
\setlinear
\plot  -0.3 0.0  4.4 3.4 /
\setlinear
\plot  3 -0.5  3 3.9 /
\setdots <1.5mm>  
%\setlinear
\plot -0.3 2.4  3  2.4 /
\endpicture
\end{minipage}
%
\item[79.] Man skizziere folgende in Polarkoordinaten gegebenen Mengen in 
einem kartesischen Koordinatensystem.\\[1ex] 
(a) $ B_1 = \{(r, \varphi) \in{I\!\!R}^2 :0 \leq \varphi \leq 2 \pi \, , 
\; 0 \leq r \leq \varphi \} $,\\[1ex]
(b) $ B_2 = \left\{ (r, \varphi) \in I\!\!R^2 :2 < r < 4 \, , 
\; \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} < \varphi <  \frac{\displaystyle 3 \pi}{\displaystyle 4} \right\} 
$,\\[1ex]
(c) $ B_3 = \left\{ (r, \varphi) \in{I\!\!R}^2 : - \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} 
\leq \varphi \leq \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} \, , \; 0 \leq r \leq 2 \cos 
\varphi \right\} $.
\item[80.] Welche Menge $ B \in \ {I\!\!R}^3 $ wird durch folgende 
Ungleichungen beschrieben?\\[1ex]
(a) $ 3 \leq x \leq 4 $ und $ 1 \leq y \leq 2 $ und $ 0 \leq z \leq 2x \, 
; \; $ \\[1ex]
(b) $ 2 \leq r \leq 4 $ und $ 0 \leq \varphi < 2 \pi $ und $ 0 \leq 
\Theta \leq \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} $ (Kugelkoordinaten).\\[1ex]
\item[81.] Berechnen Sie f"ur die folgenden, in kartesischen Koordinaten 
gegebenen Punkte des $ {I\!\!R}^3 $ die zugeh"origen Zylinder- bzw. 
Kugelkoordinaten!\\[1ex]
(a) $ P_1 = (1; 1; \sqrt{2}) $ \qquad (b) $ P_2 = (1; 0; 1) $ 
\\[1ex]
(c) $ P_3 = (-4; 3; -5) $  \quad (d) $ P_3 = (-4; 0; 0) $
\item[82.] Beschreiben Sie die Menge aller Punkte des $ {I\!\!R}^3 $ , 
f"ur die gilt:\\[1ex]
(a) $ x = 2 \, , \; $ \quad (b) $ z = -2 \, , \; $ \quad (c) $ x + y = 2 
\, , \; $ \\[1ex]
(d) $ r = 4 $ und $ 0 \leq \varphi \leq \pi $ 
(Zylinderkoordinaten),\\[1ex]
(e) $ r = 6 $ und $ \varphi = 0 $ (Kugelkoordinaten),\\[1ex]
(f) $ r = 6 $ und $ 0 \leq \Theta \leq \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} $ 
(Kugelkoordinaten),\\[1ex]
(g) $ \Theta = \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} $ (Kugelkoordinaten)!
%\newpage
%\vspace*{-10.5cm}

\end{enumerate}


\end{document}
