\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

%\vspace{-7cm}
%\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik,
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph\\
%
%
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Stochastik f"ur Ingenieure, SoSe 2006}\, 
\end{center}
{\bf Serie 3} (Zufallsgr"o"sen, Verteilungsfunktion, spezielle Verteilungen)\\
%"Ubungsaufgaben befinden sich auch auf meiner Homepage\\
%http://www.math.uni-magdeburg.de/\,\,$\tilde{}\,\,$christop/lehre.htm\\
Einige und "ahnliche Aufgaben zu den hier aufgef"uhrten finden Sie (mit L"osungen) als Aufgaben zu meiner Starthilfe Stochastik auf meiner Homepage\\
http://www.math.uni-magdeburg.de/home/christoph/
%
%
\begin{enumerate}
\item[38.] (Selbststudium, Aufgabe 34 zur Starthilfe)\\
$X$ sei eine diskrete Zufallsgr"o"se mit dem Wertebereich $\{x_1, x_2\}$, 
($x_1<x_2$).\\
%
Bestimmen Sie f"ur den Fall $x_1=1$, $P(X=1)=0.6$ und $D^2(X)=0.24$\\
a) die Verteilungstabelle von $X$, \quad
b) $P(2 \le{}X \le 10)$!\\
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X(t)$!
%
\item[39.] (Selbststudium, Aufgabe 35 zur Starthilfe)\\
Die unabh"angigen Zufallsgr"o"sen $X$ und $Y$ haben die Kennwerte
$E(X)=12$, $D^2(X)=0.2$, $E(Y)=20$, $D^2(Y)=0.3$.\\
Ermitteln Sie:
$E(X+Y)$, $D^2(X+Y)$, $D^2(X-Y)$, $E(3X+2Y)$, $D^2(2X+1)$ und 
$D^2(3X+2Y)$!
%
\item[40.] (Selbststudium, Aufgabe 36 zur Starthilfe)\\
Ein Gl"ucksrad bestehe aus drei gleichgro"sen Sektoren, die durch die Zahlen 
1, 2 und 3 gekennzeichnet sind. Das Rad wird dreimal gedreht. $X_i$ 
beschreibe die abgelesene Zahl bei der $i$-ten Drehung ($i=1, 2, 3$). Die 
$X_i$ sind also unabh"angige Zufallsgr"o"sen.\\
a) Ermitteln Sie die Verteilungstabelle von $Y=\sum_{i=1}^3 X_i$!\\
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $P(Y\ge5)$!\\
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von $Y$!
%
\item[41.] Bei einem Test elektronischer Bauelemente wird eine Serie von $n$ unabh\"angigen Einzelversuchen 
gefahren. $A$ sei das Ergebnis, dass ein Bauelement ausf\"allt; die Ausfallwahrscheinlichkeit sei $P(A)=p$. 
Das Auftreten von genau $X=k$ Ereignissen $A$ im Versuchsprotokoll ist ein zuf\"alliges Ereignis. Ermitteln 
Sie die Verteilungstabelle f\"ur die Zufallsgr\"o\ss{}e $X$. Um welche Verteilung handelt es sich?\\
F\"ur $n=8$ und $p=0,3$ stelle man die Einzelwahrscheinlichkeiten $p_i$ in Abh\"angigkeit von $X=k$ und die 
Verteilungsfunktion graphisch dar.
%
\item[42.] Durch jahrelange Beobachtungen stellte man fest, dass von 1000 Neugeborenen im Mittel 515 Knaben 
und 485 M\"adchen sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Familie mit 6 Kindern\\
a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, oder 6 M\"adchen? \quad b) nicht mehr als 2 M\"adchen?\\
c) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion!
%
\item[43.] Ein Pr\"ufer hat 18 Standardfragen, von denen er in jeder Pr\"ufung 6 zuf\"allig ausw\"ahlt. Ein 
Kandidat kennt die richtigen Antworten von nur 10 Fragen, die \"ubrigen kann er nicht beantworten. Wie 
gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Pr\"ufung besteht, wenn er dazu mindestens 3 Fragen richtig 
beantworten mu\ss{}?
%
\item[44.] In einer Urne befinden sich 3 rote, 2 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander 3 Kugeln 
gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es 3 rote Kugeln, wenn \\[1ex]
a) mit Zur\"ucklegen \quad b) ohne Zur\"ucklegen die Kugeln entnommen werden.
%
\item[45.] Eine Menge von Erzeugnissen enth\"alt $10 \%$ defekte Erzeugnisse. Es wird eine Stichprobe vom 
Umfang 3 entnommen. Die Anzahl der Erzeugnisse ist gegen\"uber 3 sehr gro\ss{}, so dass praktisch kein 
Unterschied zwischen ,,Ziehen mit Zur\"ucklegen'' und ,,Ziehen ohne Zur\"ucklegen'' besteht. Die 
Zufallsgr\"o\ss{}e $X$ z"ahle die Anzahl der defekten Erzeugnisse in der Stichprobe.\\
a) Geben Sie die Verteilungstabelle f\"ur $X$ an!\\
b) Ermitteln Sie den Erwartungswert $E(X)$!\\
c) Ermitteln Sie die Varianz $D^2(X)$!\\
d) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X(t)$!
%
\item[46.] Ein Betrieb erh\"alt regelm\"a\ss{}ig Lieferungen, die aus jeweils $N=100$ Erzeugnissen bestehen. 
Aus statistischen Unterlagen geht hervor, dass die Zahl der in einer Lieferung enthaltenen Ausschu\ss{}st\"ucke 
eine Zufallsgr\"o\ss{}e ist, die angen\"ahert einer Binomialverteilung mit den Parametern $n=2$ und $p=0,1$ 
entspricht. Einer Lieferung mit unbekanntem Ausschu\ss{}anteil werden willk\"urlich $m=10$ 
Qualit\"atskontrollproben ohne Zur\"ucklegen entnommen. Die gesamte Lieferung wird nur dann angenommen, wenn 
alle $m=10$ Erzeugnisse qualit\"atsgerecht sind
\begin{itemize}
\item[a)] Wie gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass eine Lieferung $k=0, 1, 2$ Ausschu\ss{}st\"ucke 
enth\"alt?
\item[b)] Man bestimme die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass eine Lieferung angenommen wird!
\item[c)] Wieviel Sendungen muss der Betrieb durchschnittlich erhalten, damit insgesamt ein Ausschu\ss{}st\"uck 
erwartet werden kann?
\end{itemize}

\item[47.] Bei einem Serienartikel sind durchschnittlich $5 \%$ fehlerhaft. Aus einem gro\ss{}en Lieferposten 
wird eine Stichprobe vom Umfang 4 ausgew\"ahlt. Wie gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass in dieser 
Stichprobe mindestens ein fehlerhaftes St\"uck ist? Wieviel Entnahmen (von je 4 St\"uck) mu\ss{} man durchschnittlich 
vornehmen, um ein fehlerhaftes St\"uck unter den entnommenen St\"ucken zu haben?

\item[48.] Eine biologische Kreuzung gelingt nur in $5 \%$ aller angesetzten Versuche. Wieviel Versuche sind 
anzusetzen, damit mit $99 \%$ Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal die Kreuzung gelingt?

\item[49.] F\"ur die Anzahl der Zugriffe auf einen Zentralrechner (innerhalb einer Minute) gelten folgende 
Modellannahmen: Es gebe 1000 Terminals, jedes greife unabh\"angig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit 
0,002 (in jeder Minute) einmal zu. Mehrfache Zugriffe eines Terminals innerhalb einer Minute werden als 
unwahrscheinlich vernachl\"assigt. Wie gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Minute\\
a) genau zwei  \qquad b) mindestens zwei\\
Zugriffe erfolgen? Berechnen Sie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zuerst mit Hilfe der exakten Verteilung der 
Anzahl der Zugriffe (Binomialverteilung) und anschlie\ss{}end mit Hilfe des Grenzwertsatzes von Poisson.
%
\item[50.] Eine Facharbeiterin in einer Textilfabrik bedient 800 Spindeln. Die Wahrscheinlichkeit f\"ur 
das Rei\ss{}en des Fadens auf jeder Spindel w\"ahrend eines Zeitintervalls $T$ sei 0,005. Man ermittle die 
wahrscheinlichste Anzahl der Fadenrisse w\"ahrend dieses Zeitintervalls $T$! Die Zufallsgr"o"se $X$ bezeichne die 
Anzahl der Fadenrisse w\"ahrend des Zeitintervalls $T$. Da der Fadenriss ein seltenes Ereignis sein sollte, kann 
man von einer Poisson-verteilten Zufallsgr"o"se $X$ ausgehen.
Man vergleiche die Wahrscheinlichkeiten  $P(X=k)$ f\"ur $k=0,1,2,3,4,5$! F\"ur welchen Wert von $k$ nimmt die 
Wahrscheinlichkeit den gr\"o\ss{}ten Wert an?
%
\item[51.] Es sei $F_X(t)$ die Verteilungsfunktion einer Zufallsgr\"o\ss{}e $X$ mit
$$F_X(t) = a + b \,\mbox{arc}\tan t, \qquad -\infty < t < \infty$$
\begin{itemize}
\item[a)] Man ermittle die Konstanten $a$ und $b$!
\item[b)] Wie lautet die Dichtefunktion von $X$?
\end{itemize}
%
\item[52.] (Selbststudium, Aufgabe 31 zur Starthilfe)\\
F"ur welchen Wert $a$ ist die Funktion
$$
f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0       & \mbox{f"ur} \quad x<2 \\
ax^{-4} & \mbox{f"ur} \quad x\ge2
\end{array}
\right.
$$
Dichtefunktion einer Zufallsgr"o"se $X$?.
Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion und skizzieren Sie den dazugeh"origen 
Graphen!
%
%
\item[53.] Eine stetige Zufallsgr\"o\ss{}e $X$ hat die Verteilungsfunktion
$$F_X (t)= \left\{ \begin{array}{lll}
0 & \mbox{f\"ur} & t\leq 0\\
   t^2 /2 & \mbox{f\"ur} & 0<t<\sqrt 2\\
1 & \mbox{f\"ur} & \mbox{sonst}.
\end{array} \right.$$
\begin{itemize}
\item[a)] Ermitteln Sie die zugeh\"orige Dichtefunktion $f_X(x)$!
\item[b)] Berechnen Sie $E(X), D^2(X), P(-1 < X < 1/2), \; P(X>1)$!
\end{itemize}
%
\item[54.] Die Lebensdauer $X$ (in Monaten) eines Bauelements bestimmter Art besitzt die Verteilungsfunktion
$$ F_X(t)= \left\{ \begin{array}{lll}
0 & \mbox{f\"ur}& t < 0\\
1-e^{-0,5t} & \mbox{f\"ur} & t\geq 0. \end{array}\right.$$
\begin{itemize}
\item[a)] Wie gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass solch ein Bauelement l\"anger als 2 Monate 
funktionst\"uchtig ist?
\item[b)] Wie gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass von 4 solchen unabh\"angig voneinander 
arbeitenden Bauelementen
\begin{itemize}
\item[(i)] genau zwei,
\item[(ii] wenigstens zwei
\end{itemize}
l\"anger als 2 Monate funktionst\"uchtig sind?
\item[c)] Bestimmen Sie die Zeitdauer $t$ so, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,1$ kein Ausfall 
in $[0,t]$ erfolgt.
\end{itemize}
%
\item[55.] Die Dauer eines Telefongespr\"achs (in Minuten) wird als exponentialverteilt zum Parameter 
$\lambda = 0,2$ angenommen. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass die Dauer eines Telefongespr\"achs
\begin{itemize}
\item[a)] 5 Minuten nicht \"ubersteigt,
\item[b)] zwischen 5 und 10 Minuten liegt,
\item[c)] 15 Minuten \"ubersteigt.
\end{itemize}
Berechnen Sie noch die (bedingte!) Wahrscheinlichkeit, dass ein bereits 5 Minuten andauerndes Telefongespr\"ach 
innerhalb der darauf folgenden 5 Minuten beendet wird.
%
\item[56.] Die Nutzungsdauer $X$ Zeiteinheiten einer Art von Bauelementen sei exponentialverteilt. Die mittlere 
Nutzungsdauer wird mit 100 Zeiteinheiten angegeben. Wie gro\ss{} ist die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass
\begin{itemize}
\item[a)] ein Bauelement 10 Zeiteinheiten \"ubersteht,
\item[b)] von 5 solchen Bauelementen genau zwei 10 Zeiteinheiten \"uberstehen?
\end{itemize}
%
\item[57.] Die st\"orungsfreie Arbeitszeit einer Anlage ist exponentialverteilt mit dem Parameter $\lambda = 0,1$. 
Man ermittle die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, dass diese Zeit nicht kleiner als 3 Einheiten ist.  Welche 
st\"orungsfreie Arbeitszeit kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 garantiert werden?
\end{enumerate}
\end{document}

\newpage
\thispagestyle{empty}
%
%\chapter*{Anhang: Tafeln}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Tafeln}
% Gestaltung der Kopfzeile
%\markboth{Tafeln}{Tafeln}
%
%{\bf \Large Tafeln}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
%  Tafel 1 Normalverteilung
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%{\bf \large Tafel 1:}\\ 
{\bf Verteilungsfunktion ${\Phi(t)}$ und Quantile der 
Standardnormalverteilung}\\
%
\begin{minipage}[t]{5.5cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <0.5cm,8cm>
\setplotarea x from -4 to 6 , y from -0.01 to 0.33
\axis bottom shiftedto y=0
ticks length <3pt> width <1pt>
withvalues  $t$ /
at   2.65  / 
 /

\axis left shiftedto x=1
%ticks length <3pt> width <1pt>
%withvalues {} / at  0.266 /
 /
%
\put{$x$}  at 6 -0.02
\put{$\varphi(x)$}  at  2.3 0.32
\put{\vector(1,0){0.4}}[Bl] at 6  0.00
\put{\vector(0,1){0.4}}[Bl] at 1 0.33
\put{$\Phi(t)$}  at  -2  0.18
\setlinear
\plot 2.65 0   2.65 0.14 /
\plot -2 0.14  0.5 0.1 /
\plot    
 -4.000000  0.001028 % 
 -3.900000  0.001281 % 
 -3.800000  0.001589 % 
 -3.700000  0.001963 % 
 -3.600000  0.002414 % 
 -3.500000  0.002955 % 
 -3.400000  0.003601 % 
 -3.300000  0.004369 % 
 -3.200000  0.005277 % 
 -3.100000  0.006346 % 
 -3.000000  0.007597 % 
 -2.900000  0.009055 % 
 -2.800000  0.010745 % 
 -2.700000  0.012694 % 
 -2.600000  0.014930 % 
 -2.500000  0.017481 % 
 -2.400000  0.020378 % 
 -2.300000  0.023650 % 
 -2.200000  0.027325 % 
 -2.100000  0.031431 % 
 -2.000000  0.035994 % 
 -1.900000  0.041037 % 
 -1.800000  0.046578 % 
 -1.700000  0.052633 % 
 -1.600000  0.059212 % 
 -1.500000  0.066318 % 
 -1.400000  0.073947 % 
 -1.300000  0.082088 % 
 -1.200000  0.090722 % 
 -1.100000  0.099818 % 
 -1.000000  0.109340 % 
 -0.900000  0.119239 % 
 -0.800000  0.129457 % 
 -0.700000  0.139928 % 
 -0.600000  0.150575 % 
 -0.500000  0.161314 % 
 -0.400000  0.172052 % 
 -0.300000  0.182691 % 
 -0.200000  0.193128 % 
 -0.100000  0.203255 % 
 -0.000000  0.212965 % 
  0.100000  0.222150 % 
  0.200000  0.230703 % 
  0.300000  0.238522 % 
  0.400000  0.245513 % 
  0.500000  0.251589 % 
  0.600000  0.256671 % 
  0.700000  0.260695 % 
  0.800000  0.263608 % 
  0.900000  0.265371 % 
  1.000000  0.265962 % 
  1.100000  0.265371 % 
  1.200000  0.263608 % 
  1.300000  0.260695 % 
  1.400000  0.256671 % 
  1.500000  0.251589 % 
  1.600000  0.245513 % 
  1.700000  0.238522 % 
  1.800000  0.230703 % 
  1.900000  0.222150 % 
  2.000000  0.212965 % 
  2.100000  0.203255 % 
  2.200000  0.193128 % 
  2.300000  0.182691 % 
  2.400000  0.172052 % 
  2.500000  0.161314 % 
  2.600000  0.150575 % 
  2.700000  0.139928 % 
  2.800000  0.129457 % 
  2.900000  0.119239 % 
  3.000000  0.109340 % 
  3.100000  0.099818 % 
  3.200000  0.090722 % 
  3.300000  0.082088 % 
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  3.500000  0.066318 % 
  3.600000  0.059212 % 
  3.700000  0.052633 % 
  3.800000  0.046578 % 
  3.900000  0.041037 % 
  4.000000  0.035994 % 
  4.100000  0.031431 % 
  4.200000  0.027325 % 
  4.300000  0.023650 % 
  4.400000  0.020378 % 
  4.500000  0.017481 % 
  4.600000  0.014930 % 
  4.700000  0.012694 % 
  4.800000  0.010745 % 
  4.900000  0.009055 % 
  5.000000  0.007597 % 
  5.100000  0.006346 % 
  5.200000  0.005277 % 
  5.300000  0.004369 % 
  5.400000  0.003601 % 
  5.500000  0.002955 % 
  5.600000  0.002414 % 
  5.700000  0.001963 % 
  5.800000  0.001589 % 
%  5.900000  0.001281 % 
%  6.000000  0.001028 % 
%  6.100000  0.000821 % 
%  6.200000  0.000653 % 
%  6.300000  0.000517 % 
%  6.400000  0.000408 % 
%  6.500000  0.000320 % 
/
\thinlines \setquadratic
\setshadegrid span <2pt>
\vshade -4  0 0.001  <z,z,z,z>     -3 0  0.007    -2 0 0.03 / 
\vshade   -2.1 0 0.03    <z,z,z,z>    -1 0 0.1   0 0 0.213 /
\vshade   -0.1 0 0.213    <z,z,z,z>     1 0 0.266   2.65 0 0.142 /

\endpicture
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{10cm}\vspace{-2.5cm}
$\begin{array}{lcl} \varphi(x) & = & \frac{ 1}{ \sqrt{2\,\pi}}
 \; e^{-\,x^2/2}, \quad   -\,\infty < x < \infty\\[1ex]
 \Phi(t) & = & 
\frac{ 1}{ \sqrt{2\,\pi}}\,
\int\nolimits_{-\,\infty}^t 
 \, e^{-\,x^2/2}\,dx, \quad   -\,\infty < t < \infty \\[1ex]
\Phi(-\,t) & = & 1\,-\,\Phi(t) \quad \mbox{f"ur} \quad t > 0 
\end{array}$
\end{minipage}



%\tabcolsep 2.5pt
\renewcommand{\arraystretch}{0.75} 
\normalsize
%\begin{table}[ht] 
\begin{center}
%\parbox{3.0cm}{\baselineskip1.5em Tafel 1:}
\parbox[t]{11.0cm}{\baselineskip1.5em}
 \footnotesize
\begin{tabular}{|r||r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
\hline 
 & & & & & & & & & & \\[-1ex]
$t$ & .00 & .01 & .02 & .03 &.04 &.05 &.06 &.07 &.08 &.09\\                                                                    
    \hline \hline
 & & & & & & & & & & \\
0.0 &.5000 &.5040 &.5080 &.5120 &.5160 &.5199 &.5239 &.5279 &.5319 &.5359 \\
0.1 &.5398 &.5438 &.5478 &.5517 &.5557 &.5596 &.5636 &.5675 &.5714 &.5753 \\
0.2 &.5793 &.5832 &.5871 &.5910 &.5948 &.5987 &.6026 &.6064 &.6103 &.6141 \\
0.3 &.6179 &.6217 &.6255 &.6293 &.6331 &.6368 &.6406 &.6443 &.6480 &.6517 \\
0.4 &.6554 &.6591 &.6628 &.6664 &.6700 &.6736 &.6772 &.6808 &.6844 &.6879 \\
 & & & & & & & & & & \\
0.5 &.6915 &.6950 &.6985 &.7019 &.7054 &.7088 &.7123 &.7157 &.7190 &.7224 \\
0.6 &.7257 &.7291 &.7324 &.7357 &.7389 &.7422 &.7454 &.7486 &.7517 &.7549 \\
0.7 &.7580 &.7611 &.7642 &.7673 &.7704 &.7734 &.7764 &.7794 &.7823 &.7852 \\
0.8 &.7881 &.7910 &.7939 &.7967 &.7995 &.8023 &.8051 &.8078 &.8106 &.8133 \\
0.9 &.8159 &.8186 &.8212 &.8238 &.8264 &.8289 &.8315 &.8340 &.8365 &.8389 \\
 & & & & & & & & & & \\
1.0 &.8413 &.8438 &.8461 &.8485 &.8508 &.8531 &.8554 &.8577 &.8599 &.8621 \\
1.1 &.8643 &.8665 &.8686 &.8708 &.8729 &.8749 &.8770 &.8790 &.8810 &.8830 \\
1.2 &.8849 &.8869 &.8888 &.8907 &.8925 &.8944 &.8962 &.8980 &.8997 &.9015 \\
1.3 &.9032 &.9049 &.9066 &.9082 &.9099 &.9115 &.9131 &.9147 &.9162 &.9177 \\
1.4 &.9192 &.9207 &.9222 &.9236 &.9251 &.9265 &.9279 &.9292 &.9306 &.9319 \\
 & & & & & & & & & & \\
1.5 &.9332 &.9345 &.9357 &.9370 &.9382 &.9394 &.9406 &.9418 &.9429 &.9441 \\
1.6 &.9452 &.9463 &.9474 &.9484 &.9495 &.9505 &.9515 &.9525 &.9535 &.9545 \\
1.7 &.9554 &.9564 &.9573 &.9582 &.9591 &.9599 &.9608 &.9616 &.9625 &.9633 \\
1.8 &.9641 &.9649 &.9656 &.9664 &.9671 &.9678 &.9686 &.9693 &.9699 &.9706 \\
1.9 &.9713 &.9719 &.9726 &.9732 &.9738 &.9744 &.9750 &.9756 &.9761 &.9767 \\
 & & & & & & & & & & \\
2.0 &.9772 &.9778 &.9783 &.9788 &.9793 &.9798 &.9803 &.9808 &.9812 &.9817 \\
2.1 &.9821 &.9826 &.9830 &.9834 &.9838 &.9842 &.9846 &.9850 &.9854 &.9857 \\
2.2 &.9861 &.9864 &.9868 &.9871 &.9875 &.9878 &.9881 &.9884 &.9887 &.9890 \\
2.3 &.9893 &.9896 &.9898 &.9901 &.9904 &.9906 &.9909 &.9911 &.9913 &.9916 \\
2.4 &.9918 &.9920 &.9922 &.9925 &.9927 &.9929 &.9931 &.9932 &.9934 &.9936 \\
 & & & & & & & & & & \\
2.5 &.9938 &.9940 &.9941 &.9943 &.9945 &.9946 &.9948 &.9949 &.9951 &.9952 \\
2.6 &.9953 &.9955 &.9956 &.9957 &.9959 &.9960 &.9961 &.9962 &.9963 &.9964 \\
2.7 &.9965 &.9966 &.9967 &.9968 &.9969 &.9970 &.9971 &.9972 &.9973 &.9974 \\
2.8 &.9974 &.9975 &.9976 &.9977 &.9977 &.9978 &.9979 &.9979 &.9980 &.9981 \\
2.9 &.9981 &.9982 &.9982 &.9983 &.9984 &.9984 &.9985 &.9985 &.9986 &.9986 \\
 & & & & & & & & & & \\
3.0 &.9987 &.9987 &.9987 &.9988 &.9988 &.9989 &.9989 &.9989 &.9990 &.9990 \\
3.1 &.9990 &.9991 &.9991 &.9991 &.9992 &.9992 &.9992 &.9992 &.9993 &.9993 \\
3.2 &.9993 &.9993 &.9994 &.9994 &.9994 &.9994 &.9994 &.9995 &.9995 &.9995 \\
3.3 &.9995 &.9995 &.9995 &.9996 &.9996 &.9996 &.9996 &.9996 &.9996 &.9997 \\ 
3.4 &.9997 &.9997 &.9997 &.9997 &.9997 &.9997 &.9997 &.9997 &.9997 &.9998 \\
\hline \end{tabular} \end{center} 
\normalsize
%\tabcolsep 6pt
%
\vspace{0.5cm}
%
{\bf Tabelle der Quantile ${z_q}$ der Standardnormalverteilung}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r||r|r|r|r|r|r|r|r|}
\hline 
 & & & & & & & & \\[-1ex]
$q$ & 0.90 & 0.95 & 0.975 & 0.98 &0.99 &0.995 &0.999 &0.9995 \\                                                                    
    \hline \hline
 & & & & & & & & \\
$z_q$ &1.28 &1.64 &1.96 &2.05 &2.33 &2.58 &3.09 &3.29 \\
\hline \end{tabular} \end{center} 
%
\vspace{0.5cm}
%
{\bf Beachte:} $z_q = - z_{1-q}$ f"ur $q < 0.5$ 

Die Tafel wurde entnommen aus: Gerd Christoph, Horst Hackel: {\bf Starthilfe\,Stochastik},
{\it Verlag B.G.Teubner}, 2002, ISBN 3-519-00341-4, 15,90 Euro (in allen gutsortierten Buchhandlungen 
oder im Internet bestellbar).
\newpage

%
\end{enumerate}
\end{document}