\documentclass[12pt,a4paper]{report}
%\usepackage[final]{graphicx}
%\usepackage{emlines2}
\usepackage{german,a4}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{pictex}
%\input amssym12.def
%\input amssym12
%\input{prepictex}
%\input{pictex}
%\input{postpictex}
%\input{btcomart}
%\input{btcomrep}
\newcommand{\D}{\displaystyle}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik III f"ur Ingenieure, WS 2007/08}\quad
(2. Serie)\\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[14.]  
Berechnen Sie folgende Doppelintegrale! Skizzieren Sie den 
Integrationsbereich! Deuten Sie die Ergebnisse geometrisch!\\[2ex]
a) $ \int\limits^2_{x=1} \quad \int\limits^{2x}_{y=x} (2x + 4y + 10) 
dy \, dx$ \quad \quad 
b) $\int\limits^2_{y=1} \quad \int\limits^{2\,/\,y}_{x = 
1\,/\, y}  dx \, dy$
%
\item[15.]
%{\bf F2IM 2}\\
Skizzieren Sie den Integrationsbereich und vertauschen Sie die 
Integrationsreihenfolge!\\[1ex]
a) $ \int\limits^1_{y = 0} \quad \int\limits^{1-y}_{x = - \sqrt{1-y^2}} 
f(x,y) \, dx \, dy$ \quad \quad 
b) $ \int\limits^1_{x=0} \quad 
\int\limits^{\sqrt{1-x^2}}_{y=(1-x^2)/2} f(x,y) 
dy \, dx$
%
\item[16.]
% und die Datei f2im3.eps ins Arbeitsverzeichnis kopieren!!!!
%{\bf F2IM 3}\\
Man berechne folgende Doppelintegrale "uber den angegebenen \\
Gebieten $B$.\\[2ex]
a) $ I = \int \!\! \int\limits_{\!\!\!\!\!B} x \cdot 
\frac{\D e^y}{\D y^2} \, dx \, dy 
$ \quad       \quad \quad\quad \quad
\quad \quad $b) \int \!\! \int\limits_{\!\!\!\!\!B} (y^2 + 2x + 1) \, dx
 \, dy$\\[2ex]
\begin{minipage}[t]{6cm}\vspace{0.1cm} 
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <2 cm , 2 cm>
\setplotarea x from -0.15 to 2.3, y from -0.15 to 1.7
\axis bottom shiftedto y=0
      ticks %numbered from 1 to 2 by 1
      length <0pt>  withvalues $x$ / at 2.3 / /
\axis left shiftedto x=0
      ticks %numbered from -2 to -1 by 1
                    % from  1 to  2 by 1 
       length <0pt>
      withvalues $y$ / at 1.6 / /
\put{\vector(1,0){0.4}}[Bl] at 2.3 0.00
\put{\vector(0,1){0.4}}[Bl] at 0   1.7
\setlinear
\plot 0.0  0.0 
      1.5  1.5 /
\setquadratic
\plot 0.0 0.0
      0.25 0.5
      1.0 1.0
      1.69 1.3
      2.25 1.5 / 
\put{$y=\sqrt{x}$}[Bl] at 1.4 1.1
\put{$y=x$}[Bl] at 0.7 1.3
\put{$B$}[Bl] at 0.3 0.4 
\endpicture
\end{minipage}
\qquad \qquad
\begin{minipage}[t]{6cm}\vspace{0.1cm} 
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <2 cm , 2 cm>
\setplotarea x from -0.15 to 2.5, y from -0.15 to 1.7
\axis bottom shiftedto y=0
      ticks numbered from 1 to 1 by 1
      length <0pt>  withvalues $x$ / at 2.5 / /
\axis left shiftedto x=0
      ticks numbered 
                     from  1 to  1 by 1 
       length <0pt>
      withvalues $y$ / at 1.6 / /
\put{\vector(1,0){0.4}}[Bl] at 2.5 0.00
\put{\vector(0,1){0.4}}[Bl] at 0   1.7
\setlinear
\plot 0.0  0.0 
      1.5  1.5 /
\plot 1.0  0.0 
      2.5  1.5 /
\plot 1.0  1.0 
      2.0  1.0 /
\put{$y=x-1$}[Bl] at 1.7  0.5
\put{$y=x$}[Bl] at 0.7 1.3
\put{$B$}[Bl] at 1  0.5 
\endpicture
\end{minipage}
\item[17.]
%{\bf F2IM 5}\\
Berechnen Sie \\[1ex]
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad \int\limits^4_{x=2} \int\limits^x_{ y=1} dydx \quad ; &
\mbox{b)} \quad \int\limits^1_{y=0} \int\limits^1_{x=y}
(x^2 + y^2 + 1) dx dy \\[4ex]
\mbox{c)} \quad \int\limits^1_{x=0} \int\limits^1_{y=0} \, 
\frac{\D x^2}{\D 1 + y^2} \; dy dx \quad ;\quad & \mbox{d)} \quad 
\int\limits^{+ \infty}_0 \int\limits^{+ \infty}_0 xy e^{-x^2 - y^2} dx dy \,!
\end{array} $\\[2ex]
Skizzieren Sie jeweils den Integrationsbereich!
\newpage
\item[18.]
%{\bf F2IAW 1}\\
Berechnen Sie mit Hilfe von Doppelintegralen den Inhalt der 
Fl"achen, die von folgenden Kurven begrenzt werden:
$$\begin{array}{llll} 
a) &  y & = & ex^2\\
& y & = & e^x \\
& x & = & 0  \end{array} \quad \quad \begin{array}{cccc} 
b) & 4y & = & x^2 - 4x\\
& x-y-3 & = & 0 \end{array} \quad \quad \begin{array}{cccc} 
c) & y & = & \mbox{ln} x\\
& y & = & x-1\\
& y & = & -1 \end{array}$$
\item[19.]
%{\bf F2IAW 4}\\
Ermitteln Sie den geometrischen Schwerpunkt des Halbkreises \\[1ex]
$\{ (x,y) : y \geq 0 \,;\quad x^2 + y^2 \leq r^2 \} \; ! $
\item[20.]
%{\bf F2IAW 16}\\
Bestimmen Sie mit Hilfe von Doppelintegralen den Inhalt der Fl"achen, 
die von folgenden Kurven begrenzt werden:
\begin{enumerate}
\item[a)] $y = x - 2$ \quad und \quad $y^2 = x \, ;$ 
\item[b)] $xy = 4$ \quad und \quad $y = 5 - x$ !
\end{enumerate}
\item[21.]
%{\bf F2IAW 18}\\
Bestimmen Sie das Volumen des K"orpers, der von folgenden Fl"achen 
begrenzt wird!
\begin{enumerate}
\item[a)] $ z = 0\, ;\quad z = \frac{\D 4}{\D 1 + x^2 + y^2}\, ;\quad
 y = \sqrt{1-x^2} $\quad
und \quad $y = 0$; 
\item[b)] $ z = 0 $\quad und \quad $ z = e^{-x^2 - y^2} $!
\end{enumerate}
%
\item[22.]
%{\bf F2IAW 19}\\
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der von den 
Kurven $y = x-3$\quad und\quad
$4y - x^2 + 4x = 0$ eingeschlossenen Fl"ache!
\item[23.]
%{\bf F2IAW 21}\\
Bestimmen Sie die Masse des K"orpers, der durch die Fl"achen\\
 $x = a \,;\quad
2x + z = 2a \,;\quad x + z = a \,;\quad y = \sqrt{ax}\, ;\quad y = 0$ 
begrenzt wird, wenn  die 
Dichte in jedem Punkt gleich der Ordinate $y$ dieses Punktes ist!
\item[24.]
%{\bf F2IT 1}\\
Berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten\\[2ex]
a) $ \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} 
e^{- \frac{1}{2} (x^2 + y^2)} dx dy$ \quad \quad b) $ \int\limits^{+ \infty}_{- \infty} 
\int\limits^{+ \infty}_{- \infty} \frac{\D dx dy}{\D 4 + 3x^2 + 3y^2} 
\quad !$
\item[25.]
Bestimmen Sie das Doppelintegral "uber dem  Kreisringsegment $D$ :
$$\int \! \! \int\limits_{\! \! \! \! \!\!\!D} \arctan \frac{\D y}{\D x} \; 
dx dy \,, \quad D = \{ 1 \,\leq\, x^2 + y^2 \,\leq\, 9\,,\; y \geq x/\sqrt{3}
\, ,\; y \leq \sqrt{3}\,x \}.$$

\item[26.] Man berechne den Fl"acheninhalt der Oberfl"ache $S$ f"ur 
$$
S = \{ (x,y,z) \in  I\!\!R^3 : \frac{\D x^2}{\D a} + 
\frac{\D y^2}{\D b} - 2z = 0 \, ; \;  \frac{\D x^2}{\D a^2} + 
\frac{\D y^2}{\D b^2} \leq 1 \} \, .
$$
Skizzieren Sie $S$.
\end{enumerate}
\end{document}
