Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Stochastik Prof. Gerd Christoph

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik III für Ingenieure, WS 2007/08 (3. Serie)

27. Sei B = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1 , x^{2} + y^{2} ≤ z^{2}, z ≥ 0}. Man berechne den Schwerpunkt von B (ρ = const). Skizzieren Sie B.

28. Man ermittle

I = ∫∫_{B}∫ f(x, y, z) dxdydz ,

falls

B = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x , 0 ≤ z ≤ x}

und f(x, y, z) = xyz. Skizzieren Sie B.

29. Berechnen Sie das Trägheitsmoment

I = ∫_{S} (x^{2} + y^{2})ρ(x, y, z)dS

der Oberfläche S = {(x, y, z) ∈ IR^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 , x^{2} + y^{2} ≤ z^{2} , z ≥ 0} bezüglich der z-Achse, wenn ρ(x, y, z) = 1 gilt. Skizzieren Sie S und die Projektion von S in die (x, y)-Ebene.

30. Berechnen Sie das Kurvenintegral vom Punkt A = (0, 1) zu Punkt B = (1, 0)

∫_{A}^{B}(x\sqrt{y}dx + y^{2}dy)

längs der Wege

a) y = 1 − x^{2}

b) Gerade \overline{AB} !

c) Streckenzug A → B → C mit C = (1, 1) (jeweils achsenparallel)!

31. In dem Kraftfeld F⃗ = (2x − \frac{1}{2}y + 3)e⃗_{1} + (\frac{1}{2}x + 3y)e⃗_{2} wird eine Masse von P = (−2, 0) nach Q = (0, 2) transportiert. Man berechne die Arbeit bei folgenden Wegen

a) Strecke \overline{P Q} ;

b) Viertelkreis mit dem Mittelpunkt M = (0, 0).

32. Im Kraftfeld F⃗ = [\frac{x}{x^{2} + y^{2}} , \frac{y}{x^{2} + y^{2}} , 1]^{T} wird eine Masse längs des Weges r⃗(t) = [cos t, sin t, \frac{2}{π} t]^{T} mit 0 ≤ t ≤ \frac{π}{2} transportiert. Berechnen Sie die Arbeit.

33. Sind die Integranden folgender Kurvenintegrale totale Differentiale einer Funktion Φ? Wenn ja, berechne man nach Bestimmung von Φ die Integrale.

a) ∫ ((x^{2} + y)dx + (x − y^{2})dy) längs der Wege

(1) \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ,

(2) geradlinig von (1, 1) nach (a, a) ,

(3) r⃗(t) = [2 cos 3t, 4 sin 3t]^{T} mit 0 ≤ t ≤ 2π.

b) ∫ (xe^{y}dx − ye^{x}dy) längs der Wege (1) geradlinig von (0, 1) nach (1, 0) ,

(2) Viertelkreis von (0, 1) nach (1, 0) . 34.

Ermitteln Sie den Wert des Kurvenintegrals

∮ ((x^{2} + y^{2} + x)dx + (x^{2} + y^{2} + 2)dy) längs des skizzierten Weges!

[figure: _{1 2 x}; −2 −112 y; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Viertelkreis]

35. Berechnen Sie unter Verwendung eines Doppelintegrals das Kurvenintegral ∮ (\frac{dx}{y} − \frac{dy}{x} ) längs des Umfangs des Dreiecks ABC mit den Eckpunkten A = (1 , 1), B = (2 , 1) und C = (2 , 2)!

36. Bestimmen Sie die Fläche der Astroide x = 2 cos^{3} t , y = 2 sin^{3} t mit Hilfe eines Kurvenintegrals!

37. Gegeben ist F⃗ (x, y) = (12x^{2} + cxy + 2ye^{2xy})e⃗_{1} + (8x^{2} + 2xe^{2xy} + 10y + 3)e⃗_{2} .

a) Für welchen Wert c ist das Kurvenintegral ∫_{A}^{E} F⃗ · d⃗r vom Wege unabhängig?

b) Bestimmen Sie die Kräftefunktionen Φ(x , y), wenn dΦ = F⃗ · d⃗r!