Fakultät für Mathematik, Prof. Gerd Christoph

Übungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik II für Ingenieure Serie 1 (Funktionen, Inverse Funktionen, Stetigkeit, Ableitungen)

1. Gesucht sind der größtmögliche Definitionsbereich und der zugehörige Wertebereich von

a) y = \frac{x + 1}{x^{2} + 3x + 2}  b) y = \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} c) y = ln (2 − 4 sin^{2} x)
d) y = ln (3 − \sqrt{x + 7}) e) \sqrt{ln \frac{5x − x^{2}}{4}} f) y = \sqrt{|x − 1| − x}

2. Es seien f(x) = x \sqrt{x + 1}, h(x) = x^{3} − x und g(x) = sin 2x. Bestimmen Sie:

a) f(x − 1), f(x) − 1, −f(x), f(−x), 2f(x), f(2x),

b) h[h(x)], g[h(2)], h[g(x)], g[πh(2)]!

3. Welche der folgenden Funktionen sind gerade bzw. ungerade?

a) f_{1}(x) = x · sin x ,  b) f_{2}(x) = x^{2} · sin x , c) f_{3}(x) = x + sin 2x ,
d) f_{4}(x) = x(e^{x} + e^{−x}) , e) f_{5}(x) = ln \frac{x^{2} − 1}{x^{2} + 1} , f) f_{6}(x) = ln \frac{4 + x}{4 − x} .

4. Sind folgende Funktionen y = f(x) periodisch? Wenn ja, bestimmen Sie die kleinsten Periode ω:

a) y = cos(2 − πx) , b) y = 3e^{cos 4x} ,
c) y = sin(x + sin x) , d) y = ln (2 sin^{2} x + 1) .

5. Skizzieren Sie die periodischen Funktionen:

a) y = x^{2} für −π/2 ≤ x ≤ π/2 mit der Periode π ,

b) y = 1 − 2 |x| für −1 ≤ x ≤ 1 mit der Periode 2 .

6. Geben Sie die Umkehrfunktionen an von:

a) y = f(x) = \frac{x − 2}{x + 4} , x ≠ −4, b) y = f(x) = \frac{\sqrt{x} − 4}{\sqrt{x} + 1} , x ≥ 0,

c) y = g(s) = ln \sqrt{\frac{4s + 3}{3s − 2}} , s > \frac{2}{3},

7. Man zerlege in Linearfaktoren und skizziere folgende Funktionen:

a) y = x^{3} + x^{2} − 8x − 12 , b) y = x^{4} + x^{3} − 9x^{2} + 11x − 4 ,

c) y = (x^{6} − 25x^{4})(x^{2} − 4)(x − 5)^{3} .

8. Ermitteln Sie Nullstellen, Pole, Lücken und Asymptoten der folgenden Funktionen und skizzieren Sie die zugehörigen Kurven!

\begin{matrix}a) y = \frac{2}{x − 1} , & b) y = \frac{x + 1}{x^{2} − 1} , & c) y = \frac{2}{x^{2} + 1} , \\ d) y = \frac{4(x − 2)}{(x + 1)^{2}} , & e) y = \frac{2x^{2} + 4}{4 − x^{2}} , & f) y = \frac{x^{4} − 1}{x} , \end{matrix}

g) y = \frac{x(x − 1)^{2}}{(x − 1)(x + 1)(x + 2)} , h) y = \frac{x^{4} − 8x^{2} + 16}{(x^{2} − 3x − 10)(x + 1)} .

9. Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen für |x| ≤ 4π und bestimmen Sie die Periode:

a) f_{1}(x) = sin 2x , b) f_{2}(x) = sin(x/2) ,  c) f_{3}(x) = | sin x| ,
d) f_{4}(x) = | cos x| , e) f_{5}(x) = cos(x − π/3) , f) f_{6}(x) = tan(3x + π/2) .

10. a) Bestimmen Sie die Inverse zu y = f_{1}(x) = sin x für x ∈ [5π/2 , 7π/2].

b) Man vereinfache und skizziere α) y = f_{2}(x) = arcsin(sin x) , x ∈ [−π; π] , β) y = f_{3}(x) = cos(arcsin x) , x ∈ [−1; 1].

11. Man zeige a) cosh^{2} x−sinh^{2} x = 1 und b) cosh^{2} x = \frac{1}{1 − tanh^{2} x}.

12. Welche Ausdrücke sind definiert? Vereinfachen Sie diese!

a) arsinh (\frac{e}{2} − \frac{1}{2e}) , b) arsinh 0 ,

c) arcosh 0 , d) artanh 0 , e) artanh \frac{e^{2} − 1}{e^{2} + 1} .

13. Mit Hilfe der Newtonschen Interpolationsformel ist das Polynom niedrigsten Grades anzugeben, welches folgende Punkte enthält.

P_{0}(−3; −40), P_{1}(0; −4), P_{2}(1; −8), P_{3}(3; −40), P_{4}(6; −148).

Wie ändert sich das Ergebnis, wenn P_{5}(−1; 104) hinzukommt?

14. Man berechne die Grenzwerte der folgenden Funktionen:

a) lim_{x→−0} e\frac{1}{x} b) lim_{x→+0} e\frac{1}{x}  c) lim_{x→0} \frac{sin 5x}{2x}
d) lim_{x→0} \frac{tan x}{x} e) lim_{x→1} \frac{2 + x − 3x^{3}}{4 + x^{2} + 6x^{3}} f) lim_{x→3} (\frac{2}{x − 3} − \frac{12}{x^{2} − 9})

15. Ermitteln Sie Unstetigkeitsstellen und skizzieren Sie die Bilder der Funktionen:

a) y = \frac{1}{1 + 4^{1/x}}  b) f(x) = \{ \begin{matrix}|x − 1| & für & |x| < 2 \\ 2 & für & |x| = 2 \\ 3 & für & |x| > 2 \end{matrix}

c) y = arctan \frac{5}{5 − x} d) y = \frac{x^{3} − x^{2}}{2|x − 1|}

16. Wo sind folgende Funktionen differenzierbar?

a) f(x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{4 − 2x}  b) f(x) = | sin 3x|

c) f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x − 1}{x + 1} & für x ≠ −1 \\ 0 & für x = −1 \end{matrix} d) f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3} − 8}{x − 2} & für x ≠ 2 \\ 12 & für x = 2 \end{matrix}

17. Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven

y = x^{2}/2 und y = (8 − x^{2})/2 ?

18. Zeigen Sie, dass die Parabel y = \frac{x^{2}}{2e} die Kurve y = ln x berührt und bestimmen Sie den Berührungspunkt. Zeichnen Sie die Kurven!

19. Es ist zu zeigen, dass die Funktion x(t) = \frac{t − e^{−t^{2}}}{2t^{2}} der Differential-

gleichung t\frac{dx}{dt} + 2x = e^{−t^{2}} + \frac{1}{2t} genügt.

20. Bilden Sie die 1. Ableitung !

a) y = 3x^{2} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{4x^{3}} + 3 ^{3} \sqrt{x} + \frac{8}{3\sqrt{x}} b) y = (3 − 2 ln x)^{4}
c) y = \frac{e^{x} − e^{−x}}{e^{x} + e^{−x}}  d) y = \sqrt{3 − 2\sqrt{x}}
e) y = ln (x^{2} + sin 2x)  f) y = arctan 2x + arctan \frac{1}{x}
g) y = \frac{1 + sin 2x}{1 − sin 2x}  h) y = e^{\sqrt{x}} sin 3x
i) y = 6 sin^{2} x + 2 cos^{2} 3x  j) y = ln tan \frac{x}{2} + \frac{cos x}{sin^{2} x}
k) y = ln \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 − 2x}}  l) y = ln 2 + ln \sqrt{\frac{e^{5x}}{e^{5x} + 3}}