\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage{emlines2}
\usepackage{german}
\newcommand{\D}{\displaystyle}
%\input amssym12.def
%\input amssym12
%\documentclass[emlines2,11pt]{article}
%\input{prepictex}
%\input{pictex}
%\input{postpictex}
%\input{btlayout}
%\input{btcomart}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik, %Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik II f"ur Ingenieure}\\
Serie 1 (Funktionen, Inverse Funktionen, Stetigkeit, Ableitungen)\end{center}
\begin{enumerate}
\item[1.] 
Gesucht sind der gr"o"stm"ogliche Definitionsbereich und der 
zugeh"orige Wertebereich von \\[2ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \quad y = \frac{\D x+1}{\D x^2 + 3x+2} & \mbox{b)} \quad 
y = \frac{\D x}{\D \sqrt{1-x^2}} & \mbox{c)} \quad y = \, \mbox{ln} \, 
(2-4 \sin^2 x)\\[2ex]
\mbox{d)} \quad y = \, \mbox{ln} \, (3 - \sqrt{x+7}) & \mbox{e)} \quad 
\sqrt{\ln \frac{\D 5x-x^2}{\D 4}} & \mbox{f)} \quad y = \sqrt{|x-1|-x}
\end{array}
$
\item[2.]
Es seien $f(x) = x \,\sqrt{x + 1}$,\, $h(x) = x^3 - x$ und $g(x) = \sin 2x $. \\
Bestimmen Sie:\\
a) $f(x - 1)  ,\; \; f(x) - 1  ,\; \; -f(x) ,\; \; f(-x) , \; \;2f(x) ,\; \; f(2x)$, \\[1ex] 
b) $h[h(x)] ,\; \; g[h (2)] , \; \;h[g(x)] ,\; \; g[\pi  h(2)]$!
%
\item[3.]
Welche der folgenden Funktionen sind gerade bzw. ungerade?\\[2ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \, f_1(x) = x \cdot \sin x \,, & \mbox{b)} \,
f_2(x) = x^2 \cdot \sin x \,, & \mbox{c)} \, f_3(x) = x + \sin 2x \,,\\[2ex]
\mbox{d)} \, f_4(x) = x (e^x + e^{-x}) \,, & \mbox{e)} \, f_5(x) = \, 
\mbox{ln} \, \frac{\D x^2 - 1}{\D x^2 + 1}\,, & \mbox{f)} \, f_6(x) = \, 
\mbox{ln} \, \frac{\D 4 + x}{\D 4 - x}\,.
\end{array}
$
%
\item[4.]
Sind folgende Funktionen $y = f(x)$ periodisch?
Wenn ja, bestimmen Sie die kleinsten Periode $\omega$:\\[2ex]
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad y = \cos (2-\pi x)\,,\,\, & \mbox{b)} \quad y = 3e^{\cos 4x}\,,\\[2ex]
\mbox{c)} \quad y = \sin (x+ \sin x)\,, & \mbox{d)} \quad y = \, \mbox{ln} \,
(2 \sin^2 x + 1)\,.
\end{array}
$
%
\item[5.]
Skizzieren Sie die periodischen Funktionen:
\begin{enumerate}
\item[a)] $y = x^2$ f"ur $ - \pi/ 2 \leq x \leq 
\pi/ 2  $ mit der Periode $\pi$ \,,
\item[b)] $y = 1 - 2 \, |x| $ f"ur $-1 \leq x \leq 1 $ mit der Periode 2\,.
\end{enumerate}
%
\item[6.]
Geben Sie die Umkehrfunktionen an von: 
\begin{enumerate}
\item[a)] $y = f(x) = \frac{\D x-2}{\D x+4} \,,\quad x \neq -4$,\quad b)\,$y = f(x) = \frac{\D \sqrt{x} -4}{\D \sqrt{x} +1}\,, \quad x \geq 0$,
%\item[b)] 
\item[c)] $y = g(s) = \, \mbox{ln} \, \sqrt{\frac{\D 4s+3}{\D 3s-2}}\,, \qquad   s > \frac{\D 2}{\D 3},$
\end{enumerate}
\item[7.]
Man zerlege in Linearfaktoren und skizziere folgende Funktionen:\\[1ex]
a)  $ y = x^3 + x^2 - 8x - 12$\,, \quad b) $ y = x^4 + x^3 - 9x^2 + 11x - 4$\,,\\[1ex]
c)  $ y = (x^6 - 25x^4)(x^2 - 4)(x - 5)^3$\,.
%
\item[8.]
Ermitteln Sie Nullstellen, Pole, L"ucken und Asymptoten der 
folgenden Funktionen und skizzieren Sie die zugeh"origen Kurven!\\[1.5ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \,\, y = \frac{\D 2}{\D x-1}\,,\quad &  \mbox{b)} \,\, 
y = \frac{\D x+1}{\D x^2 - 1}\,,\quad & \mbox{c)}\,\,  y = 
\frac{\D 2}{\D x^2 +1}\,,\\[2ex]
\mbox{d)} \,\, y = \frac{\D 4(x-2)}{\D (x+1)^2}\,,\quad  & \mbox{e)} \,\,
y = \frac{\D 2x^2 + 4}{\D 4-x^2}\,,\quad & \mbox{f)}\,\,  y = 
\frac{\D x^4 - 1}{\D x}\,,\end{array}$\\
$\mbox{g)} \,\, y = \frac{\D x(x-1)^2}{\D (x-1)(x+1)(x+2)}\,,  \quad \mbox{h)}\,\,
y = \frac{\D x^4 - 8x^2 + 16}{\D (x^2 - 3x -10)(x+1)}\,.$
%
\item[9.] Skizzieren Sie die Graphen folgender Funktionen f"ur $|x| \leq 4\pi$ 
und bestimmen Sie die Periode:\\[1ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \, f_1(x) = \sin 2x \,, & \mbox{b)} \,
f_2(x) =   \sin (x/2) \,, & \mbox{c)} \, f_3(x) = |\sin x| \,,\\[2ex]
\mbox{d)} \, f_4(x) = |\cos x| \,, & \mbox{e)} \, f_5(x) = \,\cos(x-\pi/3) 
\,, & \mbox{f)} \, f_6(x) = \, 
\tan(3x+\pi/2)\,.
\end{array}
$
%
\item[10.]a) Bestimmen Sie die Inverse zu $y = f_1(x) = \sin x\,$ f"ur $x \in \left[  5\pi/ 2 \,,\,
 7\pi/2 \right]$.\\[1ex]
b) Man vereinfache und skizziere\\[0.5ex]
${}\qquad \alpha$)\,  $y = f_2(x) = \arcsin (\sin x) \; , \; x \in [- \pi  ; \pi ]$\,,\\
${}\qquad \beta$)\, $ y = f_3(x) = \cos (\arcsin x) \; , \; x \in [ -1; 1]$.
%
\item[11.]
Man zeige \quad 
a) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ \quad und \quad
b) $\cosh^2 x = \frac{\D 1}{\D 1 - \tanh^2 x}$.
%
\item[12.]
Welche Ausdr"ucke sind definiert? Vereinfachen Sie diese!\\[1ex]
a) $\mbox{arsinh} \, \left( \frac{\D e}{\D 2} - 
\frac{\D 1}{\D 2e} \right)\,,$\,\, b) $\mbox{arsinh} \, 0 \,,$\,\,\\[1ex]
c) $\mbox{arcosh} \, 0 \,,
$\,\, d) $\mbox{artanh} \, 0 \,,$\,\,e) $\mbox{artanh} \, \frac{\D e^2 - 1}{\D  e^2 + 1}\,.$
%
\item[13.]
Mit Hilfe der Newtonschen Interpolationsformel ist das Polynom 
niedrigsten Grades anzugeben, welches folgende Punkte enth"alt.\\[1ex]
$P_0 (-3; -40) , P_1 (0; - 4) , P_2 (1; -8) , P_3 (3; -40) , 
P_4 (6; -148).$\\[1.5ex]
Wie "andert sich das Ergebnis, wenn $P_5(-1; 104)$ hinzukommt?
%
\item[14.]
Man berechne die Grenzwerte der folgenden Funktionen:\\[2ex]
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \quad \lim\limits_{x \to -0} e^{\frac{\D 1}{\D x}} & \mbox{b)}
\quad \lim\limits_{x \to +0} e^{\frac{\D 1}{\D x}} & \mbox{c)} \quad 
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\D \sin 5x}{\D 2x}\\[2ex]
\mbox{d)} \quad \lim\limits_{x \to 0} \frac{\D \tan x}{\D x} & \mbox{e)}
\quad \lim\limits_{x \to 1} \frac{\D 2+x-3x^3}{\D 4+x^2 + 6x^3} & 
\mbox{f)} \quad \lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{\D 2}{\D x-3} - 
\frac{\D 12}{\D x^2 - 9} \right)
\end{array}
$
%
\newpage
\item[15.]
Ermitteln Sie Unstetigkeitsstellen und skizzieren Sie die 
Bilder der Funktionen:\\
$
\begin{array}{lll}
\mbox{a)} \quad y = \frac{\D 1}{\D 1+4^{1/x}} & \mbox{b)} \quad f(x) = \left\{ \begin{array}{cll}
|x-1| & \mbox{f"ur} & |x| < 2\\[1ex]
2 & \mbox{f"ur} & |x| = 2\\[1ex]
3 & \mbox{f"ur} & |x| > 2 
\end{array} \right.\\[2ex]
\mbox{c)} \quad y = \arctan \frac{\D 5}{\D 5-x} & \mbox{d)} \quad y = \frac{\D x^3 - x^2}{\D 2|x-1|}
\end{array}
$
\item[16.]
Wo sind folgende Funktionen differenzierbar?\\[1.5ex]
$
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad f(x) = \sqrt{x+1} + \sqrt{4-2x} & \mbox{b)} \quad 
f(x) = | \sin 3x| \\[2ex]
\mbox{c)} \quad f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
\frac{\displaystyle x-1}{\displaystyle x+1} & \mbox{f"ur} \, x \neq -1\\[1ex]
0 & \mbox{f"ur} \, x = -1 \end{array} \right. & \mbox{d)} \quad f(x) = 
\left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{\displaystyle x^3 -8}{\displaystyle x-2} & \mbox{f"ur} \, x \neq 2\\[1ex]
12  & \mbox{f"ur} \, x = 2 \end{array} \right. 
\end{array}
$
\item[17.]
Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven\\[1ex]
 $y = x^2/2$ und $y = (8-x^2)/2\;$?
\item[18.]
Zeigen Sie, dass die Parabel $y = \frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle 2e}$ die 
Kurve $y = \, \mbox{ln} \, x$ ber"uhrt und bestimmen Sie den 
Ber"uhrungspunkt. Zeichnen Sie die Kurven!
\item[19.] Es ist zu zeigen, dass die Funktion \quad $x(t) = 
\frac{\displaystyle t - e^{-t^2}}{\displaystyle 2t^2}$ \quad der Differential\-gleichung \quad
$ t \frac{\displaystyle dx}{\displaystyle dt} + 2x = e^{-t^2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2t}$\quad gen"ugt.
\item[20.]
Bilden Sie die 1. Ableitung !\\[1ex]
$
\begin{array}{ll} 
\mbox{a)} \quad y = 3x^2 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2x} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4x^3} + 
3 \sqrt[3]{x} + \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3 \sqrt{x}} & \mbox{b)} \quad y = (3-2 \, 
\mbox{ln} \, x)^4 \\[2ex]
\mbox{c)} \quad y = \frac{\displaystyle e^x - e^{-x}}{\displaystyle e^x + e^{-x}} & \mbox{d)}
\quad y = \sqrt{3- 2 \sqrt{x}}\\[2ex]
\mbox{e)} \quad y = \, \mbox{ln} \, (x^2 + \sin 2x) & \mbox{f)} \quad 
y = \arctan 2x + \arctan \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x}\\[2ex]
\mbox{g)} \quad y = \frac{\displaystyle 1 + \sin 2x}{\displaystyle 1 - \sin 2x} & \mbox{h)} 
\quad y = e^{\sqrt{x}} \sin 3x\\[2ex]
\mbox{i)} \quad y = 6 \sin^2x + 2 \cos^2 3x & \mbox{j)} \quad 
y = \, \mbox{ln} \, \tan \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 2} + 
\frac{\displaystyle \cos x}{\displaystyle \sin^2 x}\\[2ex]
\mbox{k)} \quad y = \, \mbox{ln} \, \sqrt{\frac{\displaystyle 1 + 2x}{\displaystyle 1-2x}} & 
\mbox{l)} \quad y = \, \mbox{ln} \, 2 + \, \mbox{ln} \, 
\sqrt{\frac{\displaystyle e^{5x}}{\displaystyle e^{5x} +3}} 
\end{array} 
$
\end{enumerate}
\end{document}
\textbf{Vorlesungen:}\\
dienstags (w"ochentlich) von 11.15 - 12.45 Uhr im Geb"aude G26 H"orsaal 1\\
mittwochs (14-t"agig, ger. KW) von 11.15 - 12.45 Uhr in G16 H"orsaal~5\\[1ex]
\textbf{"Ubungen:} (Die Gruppeneinteilung ist nicht verbindlich.)\\[2ex]
f"ur den Studiengang BSYT 1\\
  Di   09:15 - 10:45   G02-111   Sebastian Jachalski\\
  Di   13:15 - 14:45   G22A-112   Daniela Evertz\\[1ex]
f"ur den Studiengang MTK 1\\
  Do   15:15 - 16:45   G05-307   Juliane Weimann\\
  Do   15:15 - 16:45   G02-111   Dr. Michael H"oding\\[1ex]
f"ur die Studieng"ange MSPG 1, UEPT 1 und VT 1\\
  Di   13.15 - 14.45   G05-211   Dr. Iris Paasche\\
  Do   11.15 - 12.45   G05-210   Tim Leitner\\
  Do   11:15 - 12:45   G05-312   Dr. Michael H"oding\\[1ex]
f"ur den Studiengang MB 1,\\
  Mo   09:15 - 10:45   G02-109   Daniela Evertz\\
  Mo   11:15 - 12.45   G05-209   Christin Brakebusch\\
  Di     09.15 - 10.45   G16-250   Dr. Iris Paasche\\
  Do   09.15 - 10.45   G22A-013   Martin Czerwinski\\
 Do   15.15 - 16.45   G05 - 211   Tim Leitner\\[2ex]
\newpage