\documentclass[12pt,a4paper]{report}
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\begin{document}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Gerd Christoph\\
\begin{center}
{\bf "Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik III, WS 2007} 
\end{center}
Serie 4 (Differenzialgleichungen, 1. Teil)
\begin{enumerate}
\item[38.]
Pr"ufen Sie, ob die Funktionen $y = C x^2 - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} 
( \mbox{ln} x^2 + 1 )$ die DGL $ xy' - 2y = \mbox{ln} x $ erf"ullen.\\
Bestimmen Sie $C$ derart, dass die Bedingung $y (1) = 0 $ erf"ullt 
ist.
%
\item[39.]
Zeichnen Sie das Bild der Schar aller Kreise $x^2 + y^2 = 2ax$ und stellen Sie die zugeh"orige  
Differentialgleichung auf.
%
\item[40.]
Skizzieren Sie das Bild der Richtungsfelder mit einigen 
L"osungskurven f"ur folgende Differentialgleichung:\quad
$ y' = y - 1 $ und bestimmen Sie deren allgemeine L"osung.
%
\item[41.]
Man bestimme die allgemeine L"osung der linearen DGLen:\\
a) $y' + 6x^5 y = x^5$ \\[0.5ex]
b) $ y' - ay = e^{mx} $ (Fallunterscheidungen f"ur $m = a$ und 
$m \neq a$ )
%
\item[42.]
Gegeben ist die DGL  ${}\qquad (x+1) y' + 2y = 3 (x+1) \,.\quad {}$
Bestimmen Sie die Integralkurve, die durch den Punkt $P_0 (1,1)$ geht und 
skizzieren Sie diese !\\
Geben Sie die Gleichung der Tangente f"ur $x_0 = 1$ an.
%
\item[43.]
L"osen Sie die Bernoullische DGL  ${}\qquad y' - xy + y^3 e^{-x^2} = 0\;.$
%
\item[44.]
Man zeige, dass folgende DGL in der Form 
$y' = f ( \frac{\displaystyle y}{\displaystyle x} ) $ ("Ahnlichkeits-DGL) angebbar ist
und l"osen Sie diese: ${}\qquad x^2 y' - y^2 + 6x^2 = 0\,.$
%
\item[45.]
Man l"ose  die Differentialgleichung  ${}\qquad y' = (x+y)^2\,.$\\
Hinweis. Nach sinnvollem Substituieren sollten sich die Variablen trennen lassen.
%
%\item[38.]
%{\bf F2D 29/F2D 49}\\
%Man untersuche, ob die folgenden Ausdr"ucke totale Differentiale
%sind und bestimme gegebenenfalls eine zugeh"orige Funktion $z = u(x,y)$, deren totales Differential der angegebene Ausdruck ist.
%Pr"ufen Sie, ob die angegebenen Gleichungen exakte Differentialgleichungen darstellen und 
%bestimme gegebenenfalls die allgemeine L"osung $z = u(x,y)$. \\[2ex]
%a) $ (2x + 2xy^4) dx + (4y^3 x^2 + 3y^2) dy =0\; .$\\[1ex]
%b) $ x \sin y  \; dx + x^2 \cos y \; dy =0$\\[1ex]
%c) $ 2y dx - 2x dy =0$\\[1ex]
%d) Hoffentlich haben Sie in c) erhalten, dass es sich bei dem Ausdruck $ 2y dx - 2x dy $
% um kein totales Differential handelt. Versuchen Sie es nun mit\\[1ex]
% $ \frac{\displaystyle 2y dx - 2x dy}{\displaystyle (x+y)^2}=0$.\\[1ex]
%Sie merken, dass der Ausdruck in c), multipliziert mit dem {\it integrierenden Faktor}
%$\lambda(x,y)= (x+y)^{-2}$, eine exakte Differentialgleichung ergibt. 
%\\[1ex]
%e) $\left( 2xy - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle y^2} \right) dx + \left( x^2 + 
%\frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle y^3} + \frac{\displaystyle y}{\displaystyle y^2+1} \right) dy$\\[1ex]
%f) $ \left( 2xy + 3x^2 + \frac{\displaystyle y}{\displaystyle 1+xy} \right) dx + \left( x^2+
%2y + 4 + \frac{\displaystyle x}{\displaystyle 1+xy} \right) dy \, .$
%
%\item[140.]
%Man zeige, dass $y_1(x)=1$, $y_2(x)=x$, $y_3(x)=\cos x $ und $y_4(x) = \sin x$ die 4 L"osungen einer 
%homogenen DGL 4. Ordnung sein k"onnen. Mit Hilfe der Wronski-Determinante zeige man die 
%lineare Unabh"angigkeit.
\item[46.]
Ermitteln Sie die allgemeine L"osung von:\\[2ex]
$
\begin{array}{rllllllrl}
\mbox{a)} &   y'' & -  & 4y' & + & 3y & = 0\\
\mbox{b)} &   y'' & -   & 6y' & + & 13y & = 0\\
\mbox{c)} &   y'''  & -  & y'' &  - & 5y' - 3y & = 0 \\
\mbox{d)} &  y^{(4)} & - & 8y'' & - & 9y & = 0
\end{array}
$
\item[47.]
Eine charakterisitische Gleichung besitzt die L"osungen 
$\lambda_{1/2} = \; \underline{+} \; 1$ und \\
$\lambda_{3/4} = -2 \; \underline{+} \; 3i$. Wie lautet die 
zugeh"orige homogene DGL 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten?
%
\item[48.]
Welcher Differentialgleichung gen"ugen die ged"ampften Schwingungen\\ 
$ y = f(t) = A e^{-2t} \sin (t + \beta ) $ mit den Parametern $A$ und 
$ \beta $ ?
%
\item[49.]
\begin{enumerate}
\item[a)] Man bestimme die allgemeine L"osung der Dgl. 
$$
y''' + 4y'' + 5y' + 2y = 0
$$
\item[b)] Man ermittle die Wronskische  Determinante der drei die 
L"osung
bildenden Funktionen und zeige, dass diese linear unabh"angig sind. 
\item[c)] Wie lautet die spezielle L"osung, die die Anfangsbedingungen \\
$y(0) = 1 \; ; \; y' (0) = 0 \; ; \; y'' (0) = 1$ erf"ullt? Skizzieren Sie 
die Bildkurve dieser speziellen L"osung!
\end{enumerate}
\item[50.]Gegeben sei die inhomogene DGL
$$y''' + y'' - 5y' + 3y = s(x)\,.$$
Bestimmen Sie die allgemeine L"osung der zugeh"origen homogenen DGL. \\
Welche speziellen Ans"atze sind zur Ermittlung einer partikul"aren L"osung 
geeignet bei folgenden St"orfunktionen $s(x)$ :\\
$ 
\begin{array}{ll}
\mbox{a)} \quad s(x) = 4x - 2x^3 & \quad \quad \mbox{b)} \quad s(x) = 
(3x +  2) e^{-x}\\[1ex]
\mbox{c)} \quad s(x) = 4x - e^{-3x} & \quad \quad \mbox{d)} \quad 
s(x) = x^2 e^{-3x} \\[1ex]
\mbox{e)} \quad s(x) = 2e^x + \cos x & \quad \quad \mbox{f)} \quad 
s(x) = - xe^x 
\end{array}
$ 
\item[51.]
Aus der allgemeinen L"osung der Gleichung 
$$
y'' - 2y' = e^x (x^2 + x - 3)
$$
ist diejenige Integralkurve zu ermitteln, die durch den Punkt $P_0 (0; 2)$ 
geht und dort die Tangente $2x - y + 2 = 0$ hat.
%
\item[52.]
%
\begin{enumerate}
\item[(a)] L"osen Sie das Anfangswertproblem : \\[2ex]
$ y'' + y' = 4 \sin x + 2 \cos x \quad \quad y (\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} ) = 0 \; ; 
\; y' ( \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}) = 1 $
\item[(b)] L"osen Sie das Randwertproblem:\\[2ex]
$ y'' + 4y = 2x \quad \quad y(0) = 0\; ; \; y ( \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}) 
= 0 $
\item[(c)] Wie lautet die Gleichung des L"osungsgraphen von 
$ y'' + 2y' + y = \sin x $
der mit der Steigung $m = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} $ durch den Ursprung 
verl"auft.
\item[(d)]
L"osen Sie die Randwertaufgabe:\\
$\ddot{x} (t) + x(t) = 9 \cos 2t \; ; \; x(0) = 1 \; ; \; x \left( 
\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} \right) = 2 \quad !$
\end{enumerate}
\item[53.]
Gesucht sind die allgemeinen L"osungen von:\\[1ex]
a) $ y'' - 4y' + 4y = 12 xe^{2x} $\\[1ex]
b) $ 2y'' + 8y - x = \cos 2x $\\[1ex]
c) $ 2y'' + 5y' = 5x^2 - 2x - 1 $\,.
%
\end{enumerate}
\end{document}