\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik \hfill 22.07.2005\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik, Prof. Dr. G. Christoph\\[2ex]
Name: $\;$ .................................... \hspace{2cm} Studiengang:  $\;$ ..................\\
Mat.-Nr.: $\;$ .............................\\[2ex]
\begin{center}
{\bf  Klausur Mathematik I/II f"ur Ingenieure}\\
\end{center}
\hspace{-1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c||c|}
\hline
Aufgabe  & \hspace{0.2cm} 1\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm} 2 \hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}  
3 \hspace{0.2cm}   & \hspace{0.2cm}  4 \hspace{0.2cm}   & \hspace{0.2cm} 5\hspace{0.2cm} & 
\hspace{0.2cm} 6 \hspace{0.2cm} 
&\hspace{0.2cm}  7 \hspace{0.2cm}   &\hspace{0.2cm}  
8 \hspace{0.2cm}   & Summe & \hspace{0.1cm} Note\hspace{0.1cm} \\
 \hline
Punkte (Soll)& 7 & 8 & 12 & 7 & 8 & 15 & 5 & 8& 70 & - \\
\hline
Punkte (Ist)  && & & & &&&&&\\
\hline
\end{tabular}\\[3ex]
%
%
Zugelassene Hilfsmittel: 2 A4-Blatt handgeschriebene Nachschriften, 
Tabelle der Standardintegrale, Taschenrechner.\\
{\bf Hinweise:} Gewertet werden nur L"osungen, deren Rechengang logisch 
nachvollziehbar ist.\\ Oben auf das Aufgabenblatt und auf jedes L"osungsblatt Name, Matrikelnummer 
und Studiengang  schreiben.\\
Am Ende der Klausur das  Aufgabenblatt  in der Mitte falten. Legen Sie 
Ihre L"osungsbl"atter in das gefaltete Aufgabenblatt. Alternativ kann auch das Aufgabenblatt mit 
den dazugeh"origen L"osungsbl"attern zusammengeheftet werden.\\[1ex]
%
%{\Large {\bf Aufgaben 1 - 8}}
\begin{enumerate}
\item[1a.)] (4 Punkte)   Bestimmen Sie Real- und Imagin"arteil von 
$$
z =  \frac{\D 4 + 2i}{\D  (1-2i)^2 + 8i} \quad !
$$
\item[1b.)] (3 Punkte) Ermitteln Sie alle L"osungen der Gleichung $z^4 + 81 = 
0  \; $ und stellen Sie diese in der Gau"sschen Zahlenebene dar!
%
\item[2.)] (8 Punkte)  L"osen Sie die Matrizengleichungen:\\[2ex]
$ AX - BX = B + 2X \quad \mbox{mit} \quad A = \left[
\begin{array}{ll}
4 & 3\\
3 & 7 \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad B = \left[ 
\begin{array}{rr}
-1 & 1\\
2 & 1   \end{array} \right] \; .$\\[5ex]
%
$ \hfill $ {\bf Bitte wenden}
\newpage
\item[3.)] (3 + 5 + 4  Punkte) Gegeben sei die Matrix
$$\quad  A = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
3 & 3 & -4\\
-2 & 1 & a  \end{array} \right] \quad ! $$
$\alpha)$ F"ur welche rellen Werte $a$ besitzt die Matrix $A$ keine Inverse?\\
$\beta)$ L"osen Sie f"ur $a=-2$ die Eigenwertaufgabe $Ax = \lambda x$ 
und geben Sie f"ur den gr"o"sten  Eigenwert den zugeh"origen Eigenvektor 
an!\\ (Hinweis: Falls Sie die Eigenwerte nicht berechnen konnten, berechnen 
Sie den Eigenvektor zu $ \lambda = 1$.)\\
$\gamma)$ F"ur $a=1$ berechne man $A^{-\,1}$.
%
\item[4.)] (7 Punkte) Vom Punkt $P_0 = (1, 2, 1)$ wird auf die Ebene $x - 2y + z - 7 = 0$ das Lot gef"allt. Man ermittle den 
Durchsto"spunkt des Lotes und bestimme den Abstand des Punktes $P_0$ von der gegebenen Ebene.
%
\item[5.)] (8 Punkte) Der Querschnitt eines Abwasserkanals habe die Form eines Halbkreises  
mit aufgesetztem Rechteck. Der {\bf Umfang} des Querschnittes soll 10~m betragen. F"ur welchen 
Halbkreis-\\radius $r$ wird der {\bf Fl"acheninhalt}\\ des Querschnittes am gr"o"sten?\\
(Hinweis: Kreisumfang $U(r)=2\,\pi\,r$\\
 und Kreisfl"ache $A(r)= \pi\, r^2$)

\item[6.)] (4+5+6 Punkte) \begin{enumerate}
\item[a)] Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(x) = \,\frac{\D 2^x}{\D \sin x\, -\,\ln x} .$
\item[b)] Bestimmen Sie die Grenzwerte $\lim\limits_{x \to 1} \,
\frac{\D \ln x}{\D x^3\,-\,1} \, $ und 
$\lim\limits_{x \to 0} (1 + \sin x\,)^{2/x} $. 
\item[c)] Berechnen Sie die Integrale $\int\limits^{9}_4 \, 
\frac{\D x-\sqrt{x}}{\D x + \sqrt{x}} \; dx $ und $\int \frac{\D 8}{\D(x\,+\,1)^2\,(x\,-\,2)} \,dx$.
\end{enumerate}
\item[7.)] (5 Punkte) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve mit der Parameterdarstellung\\
$$  x(t) = t \,\ln t\,, \quad y(t) = t\,e^{2\,t\,-\,2} \quad \mbox{f"ur den Parameterwert} \quad t=1 \,\,!$$
\item[8.)] (8 Punkte) L"osen Sie die Anfangswertaufgabe 
$$y ' - 2\,x\,y = 4\, x^3 \quad \mbox{mit} \quad  y(0) = 3\,\,!$$
\end{enumerate}
\end{document}