\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik \hfill 21.07.2006\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph
\begin{center}
{\bf  Klausur Mathematik III/IV f"ur Ingenieure}\\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[1.)] (8 Punkte) 
Man l"ose die Anfangswertaufgabe:\\
$ y'' \,+\, 6\, y' + 9\, y =  27 \,x^2 + 5\,e^{-2x} $ mit $y(0)=2$ und $y'(0)=3$.
%
\item[2.)] (10 Punkte) Gegeben sei die Funktion
$$
z = f(x,y) = 3\,x^2\,y\, -\, 4 \,y^3 \,-\, 3\,x^2\, -\, 12y^2 + 3 \, .
$$
a) Man berechne die relativen Extrema der Funktion  $z=f(x,y)$.\\ 
%
b) Man bestimme f"ur $z=f(x,y)$ im Punkt $(1,-\, 1)$ die Richtungsableitungen
 $\alpha$ ) in Richtung Ursprung $(0,0)$ sowie 
 $\beta$ ) in Richtung des gr"o"sten Anstieges.\\
%
c) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene zur oben gegebenen Oberfl"ache $z=f(x,y)$ im Ber"uhrungspunkt  
$P_0 =(1, -\,1, f(1,-\,1))$!
%
\item[3.)] (5 Punkte)  Ein K"orper $K$ wird von den Fl"achen $z=x^2+y^2+2\,x+10$, $x^2 + y^2 = 1$ und $z=0$ begrenzt.
Berechnen Sie das Volumen des K"orpers:
$$V= \int\int\limits_K \int dx\,dy\,dz$$
 (Hinweis: W"ahlen Sie zum Berechnen des Integrals Zylinderkoordinaten)
%
\item[4.)] (8 Punkte)
In einem Kraftfeld $\overline{F} = (F_1\,,\,F_2)\,=\, (\,a\,x\,y^2\,,\,y\,x^2+b\,x\,y\,)$ wird eine Masse vom 
Punkt $A=(1\,,\,3)$ nach Punkt $ B=(2\,,\,5)$ transportiert.\\[1ex]
4.1) F"ur $a=2$ und $b=-1$  berechne man die Arbeit \\
$\int\limits_{\omega} \overline{F} d \overline{r} = \int\limits_{\omega}
(F_1 dx + F_2 dy)$,
wobei der Weg $\omega$ das St"uck einer Geraden ist, welche die Punkte $A$ und $B$ verbindet.\\
4.2) F"ur welche Werte $a$ und $b$ ist obiges Kurvenintegral vom Weg unabh"angig. In diesem Falle bestimme man
die Potentialfunktion $u(x,y)$ zum Kraftfeld $\overline{F}$.\\ 
\item[5a.)]   Erg"anzen Sie f"ur den Zufallsvektor $(X,Y)$ die folgende 
Verteilungstabelle!
\begin{tabular}{c|cc|c}
\hspace{1cm} $Y$ & 1 & 2 &\\
X & & & $P(X=x_i)$\\         
\hline
$2$       & ? &    $0.3$    & $0.7$\\

3          &    ?   &     ?      & ?\\
\hline
$P(Y=y_k)$ & $0.5$ & ?    & ? \\
\end{tabular}\\[1ex]
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz f"ur $Y$ !\\
b) Sind $X$ und $Y$ stochastisch unabh"angig? (Begr"undung!)\\
c) Berechnen Sie die Kovarianz!
%
\item[5b.)]  Ein System (Zuverl\"assigkeitsersatzschaltung) hat folgende Struktur:
\begin{center}
\unitlength1.0cm
\begin{picture}(9,4)
\put(2.0,3.6){\framebox(1.0,0.5){1}}
\put(4.5,3.6){\framebox(1.0,0.5){2}}
\put(2.0,2.4){\framebox(1.0,0.5){3}}
\put(4.5,2.4){\framebox(1.0,0.5){4}}
\put(-0.8,3.3){\line(1,0){1.5}}
\put(0.75,3.9){\line(1,0){1.2}}
\put(3.0,3.9){\line(1,0){1.5}}
\put(5.5,3.9){\line(1,0){1.2}}
\put(6.7,3.3){\line(1,0){1.5}}
\put(0.75,2.65){\line(1,0){1.2}}
\put(3.0,2.65){\line(1,0){1.5}}
\put(5.5,2.65){\line(1,0){1.2}}
\put(0.75,2.65){\line(0,1){1.25}}
\put(6.7,2.65){\line(0,1){1.25}}
\put(-0.9,3.25){\circle*{0.2}}
\put(8.2,3.25){\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{center}
\vspace{-2.5cm}
Die Bauteile fallen unabh"angig voneinander aus mit den Wahrscheinlichkeiten $p_1=0.1$, $p_2=0.4$, $p_3=0.3$ und $p_4=0.2$, wobei $p_i$ 
f"ur die Ausfallswahrscheinlichkeit des $i$-ten Bauteils steht.\\
Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems.
\item[6.)]  Die zuf"allige  Lebensdauer $T$ einer Anlage besitzt die Dichtefunktion
$$
f_T(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0       & \mbox{f"ur} \quad x \leq 2 \\
 e^{-(x-2)} & \mbox{f"ur} \quad x > 2 
\end{array}
\right.\,.
$$
Ermitteln und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_T(t)$,\\ 
die Wahrscheinlichkeiten  $P(3 < T \leq 5)$ und $P(T = 5)$, \\
den Erwartungswert $E(T)$ sowie den Modalwert $q_{1/2}$.\\
(Hinweis: Der Wert $q_{1/2}$ heisst Modalwert f"ur $T$, falls\\ $P(T \leq q_{1/2}) = P(T \geq q_{1/2})=0.5$ gilt.)
%
\item[7.)] 
Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her, deren Dicke $X$ normalverteilt ist 
mit den Parametern $\mu = 10$ mm und $\sigma = 0.02$ mm. Eine Platte sei normgerecht, 
wenn ihre Dicke h"ochstens um einen Wert $c$ vom Sollwert 10~mm abweicht.\\
a.) Es sei $c = 0.04$ mm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Platte 
normgerecht?\\
b.) Wie "andert sich die Wahrscheinlichkeit in a.), wenn man $X \geq 9.98$ mm als bekannt voraussetzen kann?\\
c.) Wie gro"s ist der Toleranzparameter $c$ mindestens zu w"ahlen, damit die 
Wahrscheinlichkeit, dass eine Platte normgerecht ist, mindestens 0.99 
betr"agt? 

\item[8.)] 
Ein Vertriebsunternehmen betreibt in einer Gro\ss{}stadt  Getr"ankeautomaten. Jeder  Automat hat 
(unabh\"angig von den anderen) innerhalb einer Kalenderwoche mit Wahrscheinlichkeit $0.1$ eine St\"orung.\\
a) Am Bahnhof befinden sich 3 Automaten. Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit, dass h"ochstens ein Automat defekt ist?\\
b) In der Stadt gibt es 900 Automaten. F\"ur die 
Entscheidung \"uber die Gr\"o\ss{}e des Serviceteams ist die Wahrscheinlichkeit von Interesse, dass in einer 
Kalenderwoche die Anzahl der defekten Automaten zwischen 81 und 108 liegt.\\
Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit approximativ mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes von 
de Moivre-Laplace.
\end{enumerate}
\end{document}