Fakultät für Mathematik Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Klausur im Fach Mathematik I/II

für die Studiengänge MB, MTK, VT, EGT

Es werden nur Aufgaben gewertet, deren Lösungsweg vollständig nachvollziehbar ist. Erlaubt sind Taschenrechner und ein A4-Blatt mit Formeln und/oder Hinweisen.

1. Man entscheide für welche Werte a und b das Gleichungssystem

\begin{aligned}x & + & y & + & bz & = & 1 \\ x & + & by & + & 3z & = & 2a \\ x & + & y & + & 2z & = & a \end{aligned}

α) keine Lösung, β) unendlich viele Lösungen besitzt. Geben Sie im Fall β) alle Lösungen an!

2. a) Vereinfachen Sie!

z = \frac{(5 + i) · (2 − 3i) − 2(4 − 5i)}{4 − (1 + i)^{2}}

b) Berechnen Sie z_{1} · z_{2} und z_{1}/z_{2}, wenn z_{1} = 2 (cos \frac{3}{2}π + i sin \frac{3}{2}π) und z_{2} = e^{−3πi}. Stellen Sie z_{1}, z_{2}, z_{1} · z_{2} und z_{1}/z_{2} in der Gaußschen Zahlenebene dar!

3. Lösen Sie die Matrizengleichung

AX + 2B = C^{T} + 3X

mit

A = [ \begin{matrix}2 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \end{matrix} ] , C = [ \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & −3 \\ 2 & 6 \end{matrix} ] .

(Welche Form muss die Matrix X besitzen, damit diese Matrizengleichung lösbar ist?) Von der Matrix A bestimme man die Eigenwerte und zum größten Eigenwert den Eigenvektor.

4. (10 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : ℝ mit f(x) = 1.2 · e^{−0.5x}

a) Bestimmen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von h(x) = x · f(x).

b) Zeichnen Sie den Graph von h für −1 ≤ x ≤ 6 (Skizze).

c) P (2, 0) sei der linke untere Eckpunkt eines achsenparallelen Rechtecks. Der rechte obere Eckpunkt S liege auf dem Graph von f. Wie muss S gewählt werden, damit der Inhalt des Rechtecks maximal wird?

5. (12 Punkte)

a) Bestimmen Sie die Grenzwerte lim_{x→1} \frac{e^{a(x−1)} − e^{b(x−1)}}{ln x} und lim_{x→∞} (1 + \frac{4}{x})^{2+2x}.

b) Bestimmen Sie die erste Ableitung von f(x) = (1 + x^{2})^{2x} .

c) Berechnen Sie die Integrale ∫_{1}^{∞} \frac{3x}{(x^{2} + 1)^{2}} dx und ∫_{1}^{2} x ln xdx.

6. (8 Punkte) Gegeben sei die Kurve x(t) = 2 tan t, y(t) = 9 cos^{2} t, 0 ≤ t ≤ \frac{π}{2} .

a) Berechnen Sie die Tangente an die Kurve im Punkt (x (\frac{π}{4} ) , y (\frac{π}{4} )) .

b) Berechnen Sie die Bogenlänge s = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{(ẋ(t))^{2} + (ẏ(t))^{2}} dt der Kurve.

ZA: (8 Punkte) Die Stromstärke I in einem Stromkreis mit dem Widerstand R, der Selbstinduktion L und der elektromotorischen Kraft E genügt der Differentialgleichung L\frac{dI}{dt} + RI = E.

a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung, indem Sie R, L und E als konstante Größen betrachten.

b) Lösen Sie das Anfangswertproblem mit I(0) = 0.