Fakultät für Mathematik Magdeburg, 15. Dezember 2006 Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Zulassungsklausur Mathematik I für Ingenieure für die Studiengänge BSYT, MSPG, UEPT, VT und Irrläufer

1. (5+8 Punkte) Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:

a) \frac{(x − 1)(x + 1)}{x − 2} > 0 . b) |x − 1| + |x| < 3 .

2. (5+8 Punkte) a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von

z = \frac{1 + i^{2} + (5 + 2i)(3 − i)}{(1 − 2i)^{2} + 8i} !

b) Ermitteln und skizzieren Sie alle Lösungen der Gleichung

(1 − i)z^{3} − 8 − 8i = 0 .

3. (9 Punkte) Lösen Sie die Matrizengleichungen:

AX−3B = A^{T} +2X mit A = [ \begin{matrix}6 & −2 \\ −1 & 3 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}2 & 1 \\ −4 & −3 \end{matrix} ] .

4. (4+4+4 Punkte) Gegeben sei die Matrix

A = [ \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & −2 \end{matrix} ] !

a) Berechnen Sie die inverse Matrix A^{−1}, falls diese existiert!

b) Ermitteln Sie alle Eigenwerte der Matrix A!

c) Geben Sie zum größten Eigenwert einen zugehörigen Eigenvektor an! (Hinweis: Falls Sie die Eigenwerte nicht berechnen können, lösen Sie das Gleichungssystem Ax = λx mit λ = −1.)

5. (4+3+4 Punkte) Man entscheide, für welche Werte a und b das Gleichungssystem

\begin{aligned}x & + & y & + & bz & = & 1 \\ x & + & by & + & 3z & = & 2a \\ x & + & y & + & 2z & = & a \end{aligned}

α) Genau eine Lösung, β) keine Lösung, γ) unendlich viele Lösungen besitzt. Geben Sie im Fall γ) alle Lösungen an!

18. Dezember 2006(blau)

1. (5+8 P.) Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:

a) \frac{(x − 2)(x + 3)}{x − 1} < 0 . b) |x + 2| + |x − 1| > 5 .

2. (5+8 Punkte) a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von

z = \frac{i^{2} − 2 + (4 + 3i)(1 − 2i)}{(2 − 2i)^{2} + 6} !

b) Ermitteln und skizzieren Sie alle Lösungen der Gleichung

(2 + i)z^{3} + 16 + 8i = 0 .

3. (9 Punkte) Lösen Sie die Matrizengleichungen:

AX−2B^{T} = A+2X mit A = [ \begin{matrix}6 & −2 \\ −1 & 3 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}2 & 1 \\ −4 & −3 \end{matrix} ] .

4. (4+4+4 Punkte) Gegeben sei die Matrix

A = [ \begin{matrix}2 & 5 & 3 \\ 1 & −2 & 6 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ] !

a) Berechnen Sie die inverse Matrix A^{−1}, falls diese existiert!

b) Ermitteln Sie alle Eigenwerte der Matrix A!

c) Geben Sie zum größten Eigenwert einen zugehörigen Eigenvektor an! (Hinweis: Falls Sie die Eigenwerte nicht berechnen können, lösen Sie das Gleichungssystem Ax = λx mit λ = −1.)

5. (4+3+2+2 Punkte) Man entscheide, für welche Werte a und b das Gleichungssystem

\begin{aligned}x & + & 2y & + & bz & = & 2 \\ 2x & + & by & + & 9z & = & a \\ x & + & 2y & + & 3z & = & 2a \end{aligned}

α) Genau eine Lösung, β) keine Lösung, γ) unendlich viele Lösungen besitzt. δ) Lösen Sie das Gleichungssystem für a = 2 , b = 4 18. Dezember 2006(weiß)

1. (5+8 Punkte) Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:

a) \frac{(x − 3)(x + 2)}{x + 1} > 0 . b) |x + 2| + |x − 1| < 5 .

2. (5+8 Punkte) a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von

z = \frac{−i^{2} + 3 + (4 + 2i)(2 − i)}{(2 + i)^{2} + 6} !

b) Ermitteln und skizzieren Sie alle Lösungen der Gleichung

(1 + 2i)z^{3} − 16 + 8i = 0 .

3. (9 Punkte) Lösen Sie die Matrizengleichungen:

XA−2B^{T} = A+2X mit A = [ \begin{matrix}6 & −2 \\ −1 & 3 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}2 & 1 \\ −4 & −3 \end{matrix} ] .

4. (4+4+4 Punkte) Gegeben sei die Matrix

A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 5 & −2 & 0 \\ 3 & 6 & −1 \end{matrix} ] !

a) Berechnen Sie die inverse Matrix A^{−1}, falls diese existiert!

b) Ermitteln Sie alle Eigenwerte der Matrix A!

c) Geben Sie zum größten Eigenwert einen zugehörigen Eigenvektor an! (Hinweis: Falls Sie die Eigenwerte nicht berechnen können, lösen Sie das Gleichungssystem Ax = λx mit λ = −1.)

5. (4+3+2+2 Punkte) Man entscheide, für welche Werte a und b das Gleichungssystem

\begin{aligned}x & + & 2y & + & bz & = & 2 \\ 2x & + & by & + & 9z & = & a \\ −x & + & (2 − b)y & − & 6z & = & a \end{aligned}

α) Genau eine Lösung, β) keine Lösung, γ) unendlich viele Lösungen besitzt. δ) Lösen Sie das Gleichungssystem für a = 1 , b = 3