\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik \hfill Magdeburg, 15. Dezember 2006\\
Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph
\begin{center}
{\bf Zulassungsklausur Mathematik I f"ur Ingenieure\\
f"ur die Studieng"ange MB, MTK, Wiederholer, Nachholer und Irrl"aufer}
\end{center}
Name: $\;$ .................................... \hspace{2cm} Studiengang:  $\;$ ........\\[2ex]
Mat.-Nr.: $\;$ .............................\\[2ex]

%\hspace{-1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c||c||c|}
\hline
Aufgabe  & \hspace{0.2cm} 1\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm} 2 \hspace{0.2cm} &\hspace{0.2cm}  
3 \hspace{0.2cm}   &\hspace{0.2cm}  
4 \hspace{0.2cm}   & \hspace{0.2cm}  
5 \hspace{0.2cm}   &  Summe & \hspace{0.1cm} Note\hspace{0.1cm} \\
 \hline
Punkte (Soll)& 13 & 13 & 9 & 12& 11 & 58 & - \\
\hline
Punkte (Ist)  && & && &&\\
\hline
\end{tabular}\\[3ex]
%
%
{\bf Zugelassene Hilfsmittel:} 1 A4-Blatt eigene handgeschriebene Nachschriften, 
 Taschenrechner.\\
{\bf Hinweise:} Gewertet werden nur L"osungen, deren Rechengang logisch 
nachvollziehbar ist.\\ Oben auf dem Aufgabenblatt und auf jedes L"osungsblatt Name, Matrikelnummer und 
Studienjahrgang  schreiben.\\
Am Ende der Zulassungsklausur das Aufgabenblatt  in der Mitte falten. Legen Sie 
Ihre L"osungsbl"atter zu den Aufgaben  in das dazugeh"orige 
gefaltete Aufgabenblatt. Alternativ kann auch das Aufgabenblatt mit den dazugeh"origen L"osungsbl"attern zusammengeheftet werden.\\[5ex]
%
\begin{enumerate}
\item (5+8 Punkte) Ermitteln Sie die L"osungsmengen folgender Ungleichungen:

a)\qquad $\frac{\D (x-1)(x+1)}{\D x - 2}> 0 \; .$\\[1ex]
b)\qquad $|x - 1| + |x| < 3 \; .$

\item (5+8 Punkte) 
%
a) Bestimmen Sie Real- und Imagin"arteil von 
$$
z =  \frac{\D 1+ i^2+ (5+2i)(3-i)}{\D (1-2i)^2 + 8i} \quad !
$$
b) Ermitteln und skizzieren Sie alle L"osungen der Gleichung $$(1-i)z^3 -8 - 8i=0\,.$$%
\hfill {\bf Bitte wenden!}
\newpage
\item (9 Punkte) L"osen Sie die Matrizengleichungen:
%
$$ AX - 3B = A^T + 2X \quad \mbox{mit} \quad A = \left[
\begin{array}{rr}
6 & -2\\
-1 & 3 \end{array} \right] \quad \mbox{und} \quad B = \left[ 
\begin{array}{rr}
2 & 1\\
-4 & -3   \end{array} \right] \; .$$
%
\item (4+4+4 Punkte) Gegeben sei die Matrix
$$  A = \left[ \begin{array}{rrr}
-1& 0 & 0 \\
3 & 2 & 5\\
4 & 1 & -2  \end{array} \right] \quad ! $$
a) Berechnen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$, falls diese existiert!\\
b) Ermitteln Sie alle Eigenwerte der Matrix $A$!\\
c) Geben Sie zum gr"o"sten Eigenwert einen zugeh"origen 
Eigenvektor an!\\
({\bf Hinweis:} Falls Sie die Eigenwerte nicht berechnen k"onnen, l"osen Sie 
das Gleichungssystem $Ax = \lambda x$ mit $\lambda = -1$.)
%
\item (4+3+4 Punkte) Man entscheide, f"ur welche Werte $a$ und $b$ das Gleichungssystem
$$
\begin{array}{rrrrrrr}
x & + & y   & + & bz & = & 1\\
x & + & by & +  & 3z & = & 2a\\
x & + &  y & + &  2z & = & a
\end{array}
$$
$\alpha$) Genau eine L"osung,\\
$\beta$) keine L"osung,\\
$\gamma$) unendlich viele L"osungen besitzt. \\
Geben Sie im Fall $\gamma$) alle L"osungen an!


\end{enumerate}
\end{document}