Fakultät für Mathematik Magdeburg, 10. Juli 2006 Prof. Dr. G. Christoph

Klausurteil Mathematik III für Ingenieure

Die Aufgaben stammen aus verschiedenen Klausuren Mathe III, sie representieren die Schwerpunkte in Mathe III.

Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner, 1 Blatt Formelskript.

1. (5 Punkte) Man löse die inhomogene lineare DGL y′′ − y′ − 2y = x^{2} + 2 e^{−x}.

2. (5 Punkte) Ermitteln Sie für die Funktion

z = f(x, y) = y\sqrt{x − y + 2} + ln (y − x^{2})

(a) den Definitionsbereich (Skizzieren und Ungleichungssystem angeben!)

(b) In welcher Richtung hat der Graph dieser Funktion an der Stelle (1,2) den stärksten Anstieg?

(c) die Tangentialebene im Punkt (1; 2; z_{0})!

3. (7 Punkte) Man berechne die relativen Extrema der Funktion

z = f(x, y) = 4x^{3} − 12x^{2} + 3xy^{2} − 3y^{2} + 2 .

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene mit dem Berührungspunkt P_{0}(1, 1, f(1, 1))!

4. Die magnetische Feldstärke im Mittelpunkt einer zylinderischen Spule mit 1000 Windungen und der Länge l, dem Radius r und der Stromstärke I beträgt

H = H(I, l, r) = \frac{1000I}{l} (2 − \frac{2r^{2}}{l^{2}} ) .

Bestimmen Sie näherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials den absoluten und relativen Fehler bei der Berechnung von H, wenn

l = (20 ± 0, 01) cm ; r = (2 ± 0, 01) cm ; I = (1 ± 0, 03)A

gemessen wurden!

5. (6 Punkte) Der Bereich B im 1. Quadranten ist ein Dreieck und wird durch die Eckpunkte (1, 1), (5, 3) und (5, 5) begrenzt. Berechnen Sie

∫_{B}∫ (2x + 2y + 1)dxdy !

6. (6 Punkte) Berechnen Sie das Linienintegral

∫_{A(0,4)}^{E(2,0)}(x + 4y)dx + (x + e^{y−4})dy

längs der Kurve r⃗(t) = te⃗_{1} + (4 − t^{2})e⃗_{2} !