\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%\textwidth14.2cm
\textwidth15.5cm

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\noindent
Fakult"at f"ur Mathematik \hfill Magdeburg, 10. Juli 2006\\
%Institut f"ur Mathematische Stochastik\\
Prof. Dr. G. Christoph
\begin{center}
{\bf Klausurteil  Mathematik III f"ur Ingenieure}\\
{\bf{Die Aufgaben stammen aus verschiedenen Klausuren Mathe III, sie representieren
die Schwerpunkte in Mathe III.}}
%f"ur die Studieng"ange EGT, MB, MTK und VT}
\end{center}
{\bf Zugelassene Hilfsmittel:} Taschenrechner, 1 Blatt Formelskript.\\

\begin{enumerate}
\item  (5 Punkte)
Man l"ose die inhomogene lineare DGL
  $\quad y'' - y' - 2y = x^2 + 2\,e^{-x} $\,.
  %
\item (5 Punkte) Ermitteln Sie f"ur die Funktion
$$
z = f(x, y) = y \sqrt{x-y+2} + \ln \, (y - x^2)
$$
\begin{enumerate}
\item[(a)]
den Definitionsbereich 
(Skizzieren und Ungleichungssystem angeben!)
\item[(b)] In welcher Richtung hat der Graph dieser Funktion an der Stelle (1,2) den 
st"arksten Anstieg?
\item[(c)] die Tangentialebene im Punkt $(1; 2; z_0)$!
\end{enumerate}

\item (7 Punkte)
Man berechne die relativen Extrema der Funktion 
$$
z = f(x,y) = 4x^3 - 12 x^2 + 3xy^2 - 3y^2 + 2 \, .
$$
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene mit dem Ber"uhrungspunkt\\ 
$P_0 (1, 1, f(1,1))$!
\item 
Die magnetische Feldst"arke im Mittelpunkt einer zylinderischen Spule mit 1000 Windungen 
und der L"ange $l$, dem Radius $r$ und der Stromst"arke $I$ betr"agt
$$
H = H (I, l, r) = \frac{\D 1000I}{\D l} \left( 2 - \frac{\D 2r^2}{\D l^2} \right) \; .
$$
Bestimmen Sie n"aherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials den absoluten und relativen 
Fehler bei der Berechnung von $H$, wenn
$$
l = (20 \pm 0,01) \, \mbox{cm}\,; \; r = (2 \pm 0,01) \, \mbox{cm} \, ; \;  I = (1 \pm 0,03) A
$$ 
gemessen wurden!
%
\item (6 Punkte) 
Der Bereich $B$ im 1. Quadranten ist ein Dreieck und wird durch die Eckpunkte $(1,1)$, $(5,3)$ und $(5,5)$   
begrenzt. Berechnen Sie  
$$
 \int\limits_{\; \; \; B} \! \! \int (2x+2y+1)dxdy \; !
$$

\item (6 Punkte)
Berechnen Sie das Linienintegral
$$
\int\limits^{E(2,0)}_{A(0,4)} (x + 4y) dx + (x + e^{y-4}) dy
$$
l"angs der Kurve $\vec{r} (t) = t \vec{e}_1 + (4 - t^2) \vec{e}_2 \; $!

%\newpage

\end{enumerate}
\end{document}




