Fakultät für Mathematik Magdeburg, 27.03.2003 Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Zulassungsklausur im Fach Mathematik III für Ingenieure

Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner, 2 Seiten Formelskript. Hinweis: Gewertet werden nur Aufgaben, deren Lösungsweg nachvollziehbar ist.

1. Gegeben ist die Funktion

z = f(x, y) = 4 ln \sqrt{y − x − 2} + 2y\sqrt{4 − x^{2} − y} .

(a) Skizzieren Sie den Definitionsbereich dieser Funktion und erfassen Sie diesen durch Ungleichungen!

(b) In welcher Richtung steigt diese Fläche im Punkt P_{0}(0; 3; z_{0}) am stärksten an?

(c) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangentialebene mit dem Berührungspunkt P_{0}(0; 3; z_{0})! Hinweis: z_{0} = f(0, 3)

2. Die magnetische Feldstärke im Mittelpunkt einer zylinderischen Spule mit 1000 Windungen und der Länge l, dem Radius r und der Stromstärke I beträgt

H = H(I, l, r) = \frac{1000I}{l} (2 − \frac{2r^{2}}{l^{2}} ) .

Bestimmen Sie näherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials den absoluten und relativen Fehler bei der Berechnung von H, wenn l = (20 ± 0, 01) cm ; r = (2 ± 0, 01) cm ; I = (1 ± 0, 03)A gemessen wurden!

3. Gesucht sind die relativen Extrema von

z = f(x, y) = (x^{2} − 2x + 2)y^{3} − 8y^{2} + 5y + 20 .

4. Von dem homogenen Körper (ρ = 1), der von den Flächen z = 0 und z = 1 − x^{2} − y^{2} begrenzt wird, ist das Trägheitsmoment

I_{z} = ∫∫_{B}∫ (x^{2} + y^{2})ρ(x, y, z)dxdydz

bestimmen.

5. Berechnen Sie das Linienintegral

∫_{A(0;4)}^{E(2;0)}(x + 4y)dx + (x + e^{y−4})dy

längs der Kurve r⃗(t) = te⃗_{1} + (4 − t^{2})e⃗_{2} !

6. Zeigen Sie, dass die Gleichung

(y − \frac{sin^{2} y}{x^{2}} ) dx + (x + \frac{sin 2y}{x} + \frac{1}{2y} ) dy = 0

eine exakte Differentialgleichung ist und ermitteln Sie die allgemeine Lösung! Hinweis: sin 2y = 2 sin y cos y