Fakultüt für Mathematik 20.05.2006 Institut für Mathematische Stochastik Prof. Dr. G. Christoph

Wieder- und Nachholungsklausur im Fach Mathematik III für die Studierenden der Studiengänge EGT, MB, MTK und VT

1. (8 Punkte) Von einem geraden Kreiskegel wurde der Radius r = 8 cm mit einem Fehler |dr| ≤ 0, 04 cm und die Höhe h = 6 cm mit einem Fehler |dh| ≤ 0, 03 cm bestimmt. Berechnen Sie unter Verwendung des totalen Differentials eine obere Schranke für den absoluten und den relativen Fehler der Kegeloberfläche 0(r; h) = π · r^{2} + π · r · \sqrt{r^{2} + h^{2}} !

2. (10 Punkte) Geben Sie von der Funktion

z = f(x, y) = 3x^{2}y − 6xy + y^{3} + 3

(a) die lokalen Maxima, Minima und Sattelpunkte (falls vorhanden) an;

(b) die Tagentialebene zum Graphen der Funktion im Punkte P_{0} = (−1, 1), f(−1, 1)) an.

3. (10 Punkte) Man berechne unter Verwendung von elliptischen Zylinderkoordinaten das Volumen des Körpers, der von den Flächen z = 9x^{2} +4y^{2} und z = 4 eingeschlossen wird. Skizzieren Sie den Körper. Als elliptische Zylinderkoordinaten verwenden Sie hier x = \frac{1}{3}r cos φ, y = \frac{1}{2}r sin φ, z = z mit r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π und z-beliebig. Berechnen Sie die Jakobi-Determinante der Transformation.

4. (8 Punkte) Im Kraftfeld \overline{F} = (2y +x)\overline{e}_{1} +(x−y +1)\overline{e}_{2} wird eine Masse von A(0, 1) nach B(−1, 0) transportiert. Man berechne die Arbeit ∫_{ω} \overline{F} d\overline{r} = ∫_{ω} (F_{1}dx + F_{2}dy) bei folgenden Wegen ω

(a) Strecke \overline{AB}

(b) Viertelkreis mit dem Mittelpunkt M(0, 0).